Интерполяция и аппроксимация: точно через точки или рядом с ними

Лабораторная по теплофизике: двенадцать точек с термопары, разброс ±0,3 градуса при перепаде в десять. Сосед прогнал через данные полином одиннадцатой степени: кривая проходит идеально через каждую точку — и дрожит между ними, как пила. Ваш вариант — прямая методом наименьших квадратов: сквозь точки не идёт, зато лежит ровно. Кто прав? Оба: «пройти точно через точки» и «лечь близко в среднем» — два разных контракта с данными, и выбор контракта определяет результат сильнее, чем выбор программы.

Сравним контракты по-честному: единственность полинома Лагранжа, нормальные уравнения МНК на числовом примере, феномен Рунге и правило выбора под тип данных. Техника интерполяции — в уроке интерполяция функций, техника приближения — в уроке метод наименьших квадратов; словарь — термины интерполяционный полином и метод наименьших квадратов.

Что значит «точно через точки»: полином Лагранжа?#

Контракт строгий: через n + 1 точку с различными абсциссами проходит ровно один полином степени не выше n. Единственность видна за одну строку: разность двух таких полиномов имеет n + 1 корень при степени не выше n — значит, это тождественный нуль. Формула Лагранжа собирает полином из базисных слагаемых, каждое из которых равно единице в «своём» узле и нулю во всех остальных:

Мини-пример: точки (0; 1), (1; 3), (2; 7). Три базисных слагаемых собираются в $L(x)=x^2+x+1$. Проверка в узлах: L(0) = 1, L(1) = 3, L(2) = 7 — контракт выполнен точно; промежуточное значение L(1,5) = 4,75. Тот же полином выходит из системы трёх линейных уравнений на коэффициенты — механика решения описана в уроке СЛАУ методом Гаусса.

Одна оговорка. С ростом числа узлов растёт и степень, а полином высоких степеней ведёт себя так, как его не просили: между узлами появляются волны, у краёв — обрывы. Интерполяция честна ровно настолько, насколько точны данные, — и ровно до того места, где начинается эффект Рунге.

Что значит «близко в среднем»: метод наименьших квадратов?#

Контракт другой: кривая не обязана попадать в точки, она обязана минимизировать суммарный квадрат промаха. Для прямой ищутся коэффициенты $a$ и $b$, доставляющие минимум функции:

Приравниваем частные производные S по a и b к нулю — и получаем нормальные уравнения, систему из двух линейных уравнений:

1. 1
   Шаг 1: собираем суммы — n = 4, Σxᵢ = 10, Σyᵢ = 24,0, Σxᵢ² = 30, Σxᵢyᵢ = 69,7.
2. 2
   Шаг 2: выписываем нормальные уравнения: 4b + 10a = 24,0 и 10b + 30a = 69,7.
3. 3
   Шаг 3: решаем — определитель 4·30 − 10·10 = 20, отсюда a = (4·69,7 − 10·24,0)/20 = 1,94 и b = (24,0 − 10·1,94)/4 = 1,15.
4. 4
   Шаг 4: прямая y = 1,94x + 1,15. Прогнозы в узлах: 3,09; 5,03; 6,97; 8,91 — остатки +0,01; −0,13; +0,23; −0,11.
5. 5
   Шаг 5: контроль — сумма остатков нулевая (общее свойство МНК), сумма их квадратов 0,082: вот цена компромисса за отказ от точного прохождения.

Почему именно квадраты, а не модули? Первый аргумент технический: квадрат дифференцируем всюду, и минимизация сводится к линейной системе; у модуля в нуле излом. Второй — статистический: если ошибки измерения нормальны, МНК-оценка совпадает с оценкой максимального правдоподобия. Мост к этому языку строится в уроке корреляция и регрессия.

Почему полиномиальная интерполяция ломается на многих точках?#

Классический подопытный — функция Рунге $f(x)=1/(1+25x^2)$ на отрезке $[-5,5]$, одиннадцать равноотстоящих узлов (n = 10). В узлах полином безупречен. Между ними — драма: у краёв, около $x\approx \pm 4,7$, интерполянт взлетает до 5,79, тогда как сама функция заперта в полосе от 0,0016 до 1:

Хуже того: с ростом числа равномерных узлов ошибка не тает, а растёт — при n → ∞ интерполяция расходится. Лечение известно: узлы Чебышёва, сгущённые к краям, уже при n = 10 сбрасывают максимальную ошибку более чем в восемь раз; кусочные кубические сплайны держат невысокую степень локально и волн не порождают; а если данных много и они шумные — пора уходить в аппроксимацию. Механика эффекта — в уроке интерполяция функций.

Когда нужна интерполяция, а когда аппроксимация?#

Интерполяция — для точных таблиц. Справочники теплофизических свойств, калибровочные кривые приборов, табличные значения функций: там, где погрешность узлов пренебрежимо мала против интересующего масштаба, честно пройти через все точки — правильная стратегия. На интерполяции стоят и квадратуры: численное интегрирование — это интеграл от интерполяционного полинома, трапеции и Симпсон — его частные случаи. Подробности — в уроке численное интегрирование.

Аппроксимация — для зашумлённого эксперимента. Когда разброс точек сопоставим с искомым эффектом, воспроизводить шум кривой — работа против результата. Простая модель, пропущенная через облако точек, усредняет погрешность и вытаскивает тренд, а заодно остаётся предсказуемой за пределами узлов. Как ошибка измерений перетекает в ошибку результата — в уроке источники погрешностей.

Рабочее правило: данные точнее, чем нужная вам гладкость, — интерполируйте; данные шумнее эффекта — приближайте. Между полюсами лежит серая зона — сглаживающие сплайны и регуляризация, где требование «точно через точки» ослаблено штрафом за извилистость кривой.

Чем опасна экстраполяция — «интерполяция за забором»?#

Оба метода управляются данными только внутри их области; за её пределами начинается вера. Полином Лагранжа не знает, что живёт за последним узлом: скромный $x^2+x+1$ по трём точкам с отрезка [0; 2] уверенно сообщает, что при x = 10 будет 111, — данных, подтверждающих это, не было. У краёв отрезка ошибки растут быстрее всего: феномен Рунге именно там и обитает.

МНК-прямая экстраполируется линейно и потому хотя бы предсказуема: за границей облака точек она продолжит тренд. Но и это предположение, а не вывод — за забором реальный процесс может перегнуться. Практическое правило: выходить не дальше одного шага сетки, дальше — только с внешней моделью процесса. Осторожность добавляет и коэффициент корреляции: тесная связь внутри диапазона ничего не обещает за его пределами.

Что учить сначала и где тренироваться?#

Порядок диктуется сложностью счёта: сначала интерполяция на трёх точках — там виден весь механизм базиса, затем общая формула Лагранжа и сплайны, затем МНК, который опирается на частные производные и решение систем.

1. 1
   Шаг 1: три точки (0; 1), (1; 3), (2; 7) — постройте полином Лагранжа в базисной форме и проверьте в узлах. Должно выйти x² + x + 1.
2. 2
   Шаг 2: те же три точки отдайте МНК-прямой: нормальные уравнения дают y = 3x + 2/3 с суммой квадратов остатков 2/3 — сравните цену двух контрактов.
3. 3
   Шаг 3: добавьте четвёртую точку с шумом: Лагранж подскочит до кубика и дрогнет между узлами, прямая лишь чуть сдвинется.
4. 4
   Шаг 4: соберите Рунге — 11 равномерных узлов функции f(x) = 1/(1+25x²), полином 10-й степени: увидите краевые всплески до 5,79. Пересадите узлы на Чебышёва — всплески исчезнут.
5. 5
   Шаг 5: финальный тест — ответьте на два вопроса: какой метод для точной таблицы из справочника и какой для шума с датчика, и объясните почему.

Следующий шаг: возьмите четыре любые точки — из лабораторного журнала, курса валют, времени сборки кубика — и прогоните обе технологии: полином Лагранжа и прямую по нормальным уравнениям. Сравните поведение между узлами и за границей данных. Теория — в уроках интерполяция функций и метод наименьших квадратов, практика — в тренажёре численных методов и задачах на СЛАУ; цену точного решения против факторизации взвешивает сравнение Гаусс или LU-разложение.