Метод Гаусса против метода Крамера: что выбрать

Два метода решают одну и ту же задачу — систему $n$ линейных уравнений, — и оба честно доводят до ответа. Спор между ними — не о правильности, а о цене и области применения. Крамер перемножает определители, Гаусс гонит ступеньку по строкам. На системе $2\times 2$ разницы нет; на $5\times 5$ — уже есть; на $1000\times 1000$ методы живут в разных вселенных. Разложим по шагам на живом примере.

Теория методов — в уроках СЛАУ методом Гаусса и Крамер и матричный метод, определители — в уроке определители.

Крамер: две дроби#

Восемь умножений — и ответ. Красота метода в символике: если правые части буквенные, формулы Крамера показывают, как решение зависит от параметров, — физики и инженеры так получают чувствительность системы. И красота же оборачивается капканом при больших $n$: каждый определитель порядка $n$ — это порядка $n!$ слагаемых по правилу раскрытия. Для $n=10$ это уже миллионы операций на один определитель, а их нужно $n+1$.

Гаусс: ступенька и обратный ход#

1. 1
   Записываем расширенную матрицу: $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 8\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$.
2. 2
   Убираем $x$ из второй строки: $R_2-\frac{3}{2}{R}_1$ даёт $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 8\\ 0& -\frac{11}{2}& -11\end{array}\right)$.
3. 3
   Обратный ход: из второй строки $-\frac{11}{2}y=-11$, отсюда $y=2$.
4. 4
   Подставляем в первую: $2x+6=8$, отсюда $x=1$. Ответ совпал с Крамером: $x=1$, $y=2$.

Больше шагов на маленькой системе — но посмотрите, что метод показал по дороге: ранг матрицы, структуру решения, а в случае противоречия — строку вида $0=c$ с ненулевой правой частью. Для системы $n\times n$ прямой ход стоит примерно $\frac{2}{3}{n}^3$ операций: при $n=1000$ это порядка $10^9$ — считанная секунда на современном процессоре. Крамер на той же системе ушёл бы в тепловой шум ещё при $n=15$.

Строка про вырожденные случаи — главная в таблице. При $\Delta =0$ формулы Крамера запрещены, а что случилось с системой — нет решений или их бесконечно много — из нулевого определителя не видно. Гаусс отвечает на этот вопрос бесплатно: ступенька либо содержит противоречие, либо нет, а число свободных переменных равно размерности пространства решений. Для систем с параметром («при каких $a$…») Гаусс тоже надёжнее — хотя на $2\times 2$ с одним параметром Крамер выигрывает скоростью: см. разбор задачи на систему с параметром.

Что дальше: тренировка обоих методов — в тренажёре СЛАУ и на страницах задачи на СЛАУ и задачи на матрицы; алгоритм с проверками — в разборе как решать СЛАУ; определения — в терминах метод Гаусса, метод Крамера и система линейных уравнений. Альтернативная пара для численной работы — сравнение Гаусс против LU-разложения.