🧮 Линал

Метод Крамера

Q: Почему метод работает? В чём его суть?

Кратко: определитель линеен по каждому столбцу. Разность $\Delta_i$ и $\Delta$ — это определитель, где $i$-й столбец коэффициентов заменён правыми частями, и раскрывая его по $i$-му столбцу, получаем ровно линейную комбинацию, равную $x_i\Delta$. Деление на $\Delta$ даёт $x_i$. Для систем 3×3 ту же механику легко проверить вручную.

англ. Cramer's rule

Формульное решение СЛАУ через определители: каждый неизвестный — отношение двух детерминантов, где в числителе столбец свободных членов встаёт на место соответствующего столбца матрицы.

Когда система линейных уравнений невелика (2×2 или 3×3), возиться с методом Гаусса не обязательно: метод Крамера выдаёт каждый неизвестный одной формулой. Идея элегантна: главный определитель системы $Δ$ (детерминант матрицы коэффициентов) измеряет «объём», который задают уравнения; если он не ноль — решение единственно, и каждую компоненту можно вынести делением двух объёмов.

x_{i} = \frac{Δ _{i}}{Δ}, Δ = det A \neq = 0

Δ_{i}

— определитель, где

i

-й столбец заменён столбцом свободных членов; иначе говорят: «столбец правых частей встаёт на место

i

-го столбца»

Для системы двух уравнений это выглядит так: ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ . Главный определитель $Δ = a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ . Для $x$ заменяем первый столбец правыми частями: $Δ_{x} = c_{1} c_{2} b_{1} b_{2}$ ; для $y$ — второй: $Δ_{y} = a_{1} a_{2} c_{1} c_{2}$ . Ответ: $x = Δ_{x} /Δ$ , $y = Δ_{y} /Δ$ . Пример: ${2 x + 3 y = 8 x - y = - 1$ даёт $Δ = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3 = - 5$ , $Δ_{x} = 8 \cdot (- 1) - (- 1) \cdot 3 = - 5$ , $Δ_{y} = 2 \cdot (- 1) - 1 \cdot 8 = - 10$ , откуда $x = 1$ , $y = 2$ . Подставляем — сходится.

Крамер на системе 2×2 по шагам

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Частые ошибки

Первое: замена столбца «не на своё место» — для

x

правые части встают именно в первый столбец, для

y

во второй; перепутать легко, а ответ получится чужой. Второе: при

Δ = 0

делить нельзя — система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений; для выяснения нужен Гаусс или сравнение вспомогательных определителей. Третье: в определителе 3×3 студенты теряют знаки — пишите разложение по строке аккуратно, с чередованием знаков.

Когда Крамер хорош: небольшие системы (экзаменационный стандарт — 3×3), когда ответ нужен «одной формулой» без преобразований, и в задачах с параметром, где вопрос «при каком значении параметра решение единственно» мгновенно сводится к $Δ \neq = 0$ . Когда плох: большие системы — вычислительная цена растёт факториально, и численные методы (тот же Гаусс) сильно эффективнее. Крамер тесно связан с обратной матрицей: оба подхода — части одного аппарата, сравнить их можно в уроке Крамер и матричный метод. Тренировка на живых системах — в тренажёре матриц, формулы — в шпаргалке векторной алгебры.

Частые вопросы

Что делать, если главный определитель равен нулю?

Формулы Крамера неприменимы. Если при этом хотя бы один вспомогательный определитель $Δ_{i}$ не ноль — система несовместна (решений нет). Если же ВСЕ определители нулевые — решений бесконечно много, и общее решение ищется методом Гаусса через свободные переменные.

Метод Крамера и метод Гаусса — что выбрать на контрольной?

Для системы 2×2 или 3×3 Крамер быстрее и проверяемее: три определителя и деление. Для систем выше 3×3, для систем с бесконечным множеством решений и для «исследовать» (а не «решить») — Гаусс: он универсален и показывает структуру решений. Часто на экзамене просят одним методом решить, другим проверить — это лучший сценарий.

Почему метод работает? В чём его суть?

Кратко: определитель линеен по каждому столбцу. Разность $Δ_{i}$ и $Δ$ — это определитель, где $i$ -й столбец коэффициентов заменён правыми частями, и раскрывая его по $i$ -му столбцу, получаем ровно линейную комбинацию, равную $x_{i} Δ$ . Деление на $Δ$ даёт $x_{i}$ . Для систем 3×3 ту же механику легко проверить вручную.

пошагово

Решатель определителей

Посчитать определители для Крамера

Методу Крамера нужны Δ, Δx и Δy: решатель вычислит каждый из них с промежуточными шагами.

Открыть решатель