Разложение определителя по строке и столбцу

Определитель четвёртого порядка правилом треугольников не берётся: диагоналей слишком много. Спасает разложение по строке — теорема Лапласа, которая превращает один большой определитель в несколько маленьких. Это универсальный метод: работает для любого порядка, а в умелых руках (выбор строки с нулями) сводит задачу к одному-двум определителям второго порядка. Сверяйте ответы в решателе определителей.

Идея: строка — взвешенная сумма миноров#

Два новых слова. Минор $M_{ij}$ — определитель, оставшийся после вычёркивания $i$-й строки и $j$-го столбца; у определителя $4\times 4$ миноры имеют порядок $3$. Алгебраическое дополнение — минор со знаком $(-1{)}^{i+j}$: шахматная раскраска, где левый верхний угол плюсовой, а знаки чередуются и по строкам, и по столбцам. Строка вносит в определитель ровно $n$ слагаемых — по одному на элемент, — и никакая информация при этом не теряется и не дублируется.

Стратегия прячется в множителях: слагаемое с нулевым элементом равно нулю, какой бы минор за ним ни стоял. Поэтому выбирать надо строку или столбец с наибольшим числом нулей — тогда раскладка вырождается в считанные произведения.

Алгоритм: пять шагов#

1. 1
   Выберите строку или столбец с максимальным числом нулей (если нулей нет — сначала создайте их преобразованиями строк).
2. 2
   Выпишите ненулевые элементы строки и их индексы — по ним считается знак $(-1{)}^{i+j}$.
3. 3
   Для каждого элемента выпишите минор: вычеркните его строку и столбец, оставшийся квадрат посчитайте треугольниками.
4. 4
   Умножьте каждый элемент на знак и на минор, сложите произведения.
5. 5
   Проверьте расстановку знаков шахматкой: позиции $(1,2)$, $(1,3)$, $(2,2)$ несут минус — против шахматной интуиции ошибиться легко.

Разбор флагманского примера#

Берём матрицу со строками $(2,1,0)$, $(3,5,0)$, $(4,7,8)$ и раскладываем по третьему столбцу: в нём два нуля. Слагаемых два: элемент $a_{33}=8$ со знаком $(-1{)}^{3+3}=+1$ и минором $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 5\end{array}\right|=10-3=7$. Всё остальное умножается на ноль и не пишется. Итог: $8\cdot 7=56$. Два слагаемых вместо шести — вот почему выбор строки важнее скорости умножения.

А теперь определитель без нулей — здесь раскладываем по первой строке и считаем все три минора.

Стратегия выбора строки#

Цена разложения пропорциональна числу ненулевых элементов строки. Рабочая тактика: до раскладки выполните элементарные преобразования — прибавьте к одной строке другую, умноженную на подходящее число, — и обнулите почти весь столбец. Тогда разложение сводится к единственному минору. Свойства, на которых держатся такие преобразования, собраны в уроке определители, а метод Крамера показывает, зачем всё это нужно при решении систем: метод Крамера и матричный метод.

Три типовые ошибки#

• Перепутать шахматные знаки: минус живёт там, где сумма индексов нечётна, — позиции вроде $(1,2)$ и $(2,3)$, а не «вторая позиция вообще».
• Вычеркнуть не ту строку или столбец при записи минора: минор элемента $a_{ij}$ всегда лишается именно $i$-й строки и именно $j$-го столбца.
• Раскладывать по плотной строке, когда рядом есть строка с нулями, — верный путь к трём лишним определителям и двум ошибкам в них.