Как строить эпюры в сопромате: метод сечений и разбор балки

Эпюры — карта внутренней жизни балки: одна картинка показывает, где стержень растягивается, где срезается и где гнётся сильнее всего. Подбор сечения начинается с эпюры изгибающих моментов, и ошибка в один скачок оборачивается неверным диаметром вала или лишними килограммами конструкции. Определения внутренних факторов — в уроке метод сечений и напряжения и в термине эпюра; здесь — алгоритм от расчётной схемы до проверенного чертежа.

Внутри сечения живут три внутренних силовых фактора: продольная сила $N$ (растяжение или сжатие), поперечная $Q$ (срез) и изгибающий момент $M$. Для плоского поперечного изгиба последовательность построения одна и та же — меняется только нагрузка.

Алгоритм: метод сечений по шагам#

1. 1
   Найдите реакции опор из уравнений статики (сходящиеся силы, моменты и пары). Консоль — исключение: сечения можно вести со стороны свободного конца, и реакции в заделке не понадобятся вовсе.
2. 2
   Разметьте участки. Границы — там, где меняется характер нагрузки: точки приложения сил и пар, начало и конец распределённой нагрузки. Внутри участка функции $Q(x)$ и $M(x)$ гладкие, поэтому один участок — одно выражение.
3. 3
   Проведите сечение, отбросьте дальнюю часть и замените её действие внутренними силами. Правило знаков для левой части: сила, направленная вверх, даёт $Q>0$; моменты сил, вращающие оставшуюся часть по часовой стрелке, дают $M>0$ — растянуто нижнее волокно. Для правой части всё зеркально.
4. 4
   Выразите $Q(x)$ и $M(x)$ из равновесия оставшейся части на каждом участке и посчитайте значения на границах.
5. 5
   Нарисуйте эпюры: для $Q$ положительные значения откладываются вверх; для $M$ ориентацию уточните у преподавателя — школы расходятся (см. врезку ниже).
6. 6
   Прогоните контроль: скачки, изломы, зависимости Журавского. Об этом — отдельный блок ниже, и пропускать его нельзя: именно контроль отличает верную эпюру от похожей.

Правило знаков и зависимости Журавского#

Дифференциальные зависимости связывают три эпюры между собой — их вывод аккуратно разобран в уроке о поперечном изгибе:

Строка про выпуклость — самая коварная: при нагрузке, направленной вниз, вторая производная $M^{\prime \prime }=-q$ отрицательна, и эпюра $M$ выпукла вверх — то есть навстречу стрелкам нагрузки. Проверьте на примере ниже: парабола момента выгнута именно так.

Полный пример: консольная балка#

Консоль жёстко заделана слева в точке $A$, свободный конец $B$ справа, длина $L=4$ м. Нагрузки: распределённая $q=3$ кН/м по всей длине (вниз) и сосредоточенная сила $F=8$ кН (вниз) посередине, в точке $x=2$ м. Построить эпюры $Q$ и $M$.

1. 1
   Сумма проекций на вертикаль: $\sum F_y=0$ даёт $R_A=qL+F=3\cdot 4+8=20$ кН, направлена вверх.
2. 2
   Сумма моментов относительно $A$: $\sum M_A=0$ даёт $M_A=qL\cdot \frac{L}{2}+F\cdot \frac{L}{2}=24+16=40$ кН·м — реактивный момент против часовой стрелки, уравновешивающий нагрузку.
3. 3
   Участки: I — $0\le x\le 2$ (от заделки до середины), II — $2\le x\le 4$ (от середины до конца). Граница — точка приложения силы $F$: через неё выражения обязаны меняться.

Участок I, сечение на расстоянии $x$ от заделки, смотрим влево: $Q(x)=R_A-qx=20-3x$; момент складывается из реакции, реактивного момента и части нагрузки: $M(x)=-M_A+R_{A}x-q\frac{x^2}{2}=20x-40-1,5x^2$. Минус у момента заделки — не ошибка: консоль с нагрузкой вниз выгибается выпуклостью вверх, растянуто верхнее волокно, а положительный $M$ в машиностроительной традиции растягивает нижнее. Значения: $Q(0)=20$ кН, $Q(2)=14$ кН; $M(0)=-40$, $M(1)=-21,5$, $M(2)=-6$ кН·м.

Участок II: слева от сечения добавилась сила $F$: $Q(x)=20-3x-8=12-3x$; к моменту прибавилось плечо силы: $M(x)=20x-40-1,5x^2-8(x-2)=12x-24-1,5x^2$. Значения: $Q(2)=6$ кН, $Q(4)=0$; $M(2)=-6$, $M(3)=-1,5$, $M(4)=0$ кН·м.

Контроль по всем правилам сразу. Скачок на эпюре $Q$ в точке $x=2$ равен $6-14=-8$ кН — ровно силе $F$, и направлен вниз, как сама сила. Скачка $M$ там нет: сила не прыгает на эпюре момента, зато излом есть — слева наклон $20-3x$, справа $12-3x$. В заделке $Q(0)=20$ кН и $|M(0)|=40$ кН·м — в точности реакции: сечение у заделки передаёт опорные силу и момент, совпадение закономерно. На свободном конце обе эпюры закрываются в нуль. Зависимости Журавского: $M^{\prime }=20-3x=Q$ на первом участке, $M^{\prime }=12-3x=Q$ на втором, $Q^{\prime }=-3=-q$ везде. Экстремумов $M$ внутри нет: $Q=0$ достигается только на самом конце $x=4$, где и кончается балка.

Консольный лайфхак: сечения можно вести справа, от свободного конца, и реакции не нужны вовсе. На расстоянии $\bar{x}$ от $B$: до силы $Q=3\bar{x}$, $M=-1,5{\bar{x}}^2$; после силы $Q=3\bar{x}+8$, $M=-1,5{\bar{x}}^2-8(\bar{x}-2)$. В заделке $\bar{x}=4$ выходят те же $20$ кН и $-40$ кН·м — реакции посчитали сами себя, и это дополнительная проверка их правильности.

Куда дальше: формулы всех эпюр на одном листе — шпаргалка по эпюрам, потренироваться руками — тренажёр построения эпюр; отличия трёх факторов разложены в сравнении эпюры N, Q и M. Что делать с найденным $M_{\max }$ — подбор сечения в уроке напряжения при изгибе через момент сопротивления сечения; продольный близнец эпюры $N$ — урок растяжение и сжатие, крутящий момент — кручение валов, а предел прочности и нормальные напряжения подскажут, когда сечение проходит.