Поперечный изгиб: как построить эпюры Q и M с примерами

Кран-балка в гаражном кооперативе прогнулась посередине — не потому, что сталь «устала», а потому, что при реконструкции подвесили вторую таль, и балка стала работать совсем не так, как в старом расчёте. Инженер узнаёт о таком не по ощущениям: он строит эпюры — графики внутренних усилий по длине балки: прежде всего эпюру поперечных сил и эпюру изгибающих моментов. Эпюра — кардиограмма конструкции: видно, где опасное сечение, где момент меняет знак и сколько всего накопилось в металле. Научиться снимать эту кардиограмму — задача этого урока.

Чем чистый изгиб отличается от поперечного?#

Изгиб — деформация, при которой ось стержня искривляется. Если в сечениях действует только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, изгиб называют чистым. Так работает средний участок балки, нагруженной двумя равными силами по краям: между ними Q = 0, а момент постоянен. Если же в сечении есть и сила, и момент — изгиб поперечный; это основной рабочий случай для пролётных балок, валов на опорах и консолей.

Разница не формальная. При чистом изгибе материал испытывает только растяжение и сжатие по высоте сечения — на этом строится вся теория напряжений из урока про напряжения при изгибе и расчёт на прочность. Поперечный изгиб добавляет сдвиг: волокна ещё и скользят друг относительно друга, появляются касательные напряжения. Для длинных балок вторым эффектом обычно пренебрегают, но знать о нём надо с самого начала.

Что показывают Q и M в сечении балки?#

Инструмент тот же, что в уроке про метод сечений и напряжения: балку мысленно режут, одну часть отбрасывают, а её действие заменяют внутренними усилиями. При изгибе в сечении их два. Поперечная сила Q — сдвигает одну часть балки относительно другой. Изгибающий момент M — растягивает и сжимает волокна, изгибая ось. Оба определяются из равновесия отсечённой части.

• $Q$ равна алгебраической сумме проекций на вертикаль всех сил по одну сторону от сечения: силы слева, направленные вверх, и силы справа, направленные вниз, дают плюс
• $M$ равен алгебраической сумме моментов тех же сил относительно сечения; знак «плюс» — когда растянуты нижние волокна (балка выгибается «чашей»)
• под сосредоточенной силой эпюра $Q$ делает скачок на величину силы; под сосредоточенным моментом скачет эпюра $M$

Знак момента — самая практичная часть конвенции. Момент положителен — трещины пойдут по низу сечения, отрицателен — по верху. У консоли с грузом на конце растянуты именно верхние волокна: полка на кронштейне трескается по верхней пласти, а не по нижней. В машиностроительных курсах эпюру M иногда рисуют зеркально, на сжатом волокне, — физика не меняется, но правило, на каком волокне построена эпюра, всегда подписывают.

Проверьте правило знаков руками. Положите линейку на две книги и нажмите пальцем посередине: линейка выгибается чашей, низ растянут — момент положителен. Теперь положите линейку на край стола и нажмите на свисающий конец: растянут верх — момент отрицателен. Те же две картинки дают эпюры наших двух примеров ниже: шарнирная балка с куполом вверх и консоль с треугольником вниз от оси. Одна минута пальцами экономит страницу определений.

Логика построения эпюр при кручении из урока про кручение валов повторяется один в один: там по участкам суммируются моменты, крутящие вал, — здесь силы и изгибающие моменты. Меняется «жертва» деформации, а механика метода сечений — та же.

Откуда берутся зависимости Журавского?#

Вырежем из нагруженной балки бесконечно малый элемент длиной $dz$. На его левую грань действуют внутренние усилия $Q$ и $M$ (сила вверх, момент сжимает верхние волокна), на правую — уже $Q+dQ$ и $M+dM$: на длине элемента всё чуть-чуть подросло. Сверху на элемент давит внешняя распределённая нагрузка интенсивностью $q$. Составим два уравнения равновесия — силу и момент — и посмотрим, что из них выпадает.

Это и есть дифференциальные зависимости Журавского (1855 год, Дмитрий Иванович Журавский, инженер петербургской школы мостов). Смысл у них чисто матанализовский: эпюра — это функция, а её наклон — производная. Точно такие же связи между функцией и её скоростью разбирает урок про производную: определение и смысл; само слово «производная» расшифровано в словаре. Из двух строчек выводится весь контроль качества эпюр — в словарной статье они названы дифференциальными зависимостями при изгибе.

• участок без нагрузки ($q=0$): эпюра $Q$ горизонтальна, эпюра $M$ — прямая линия
• участок с равномерной нагрузкой $q$: эпюра $Q$ — наклонная прямая, эпюра $M$ — парабола, выпуклая навстречу нагрузке
• сосредоточенная сила $P$: скачок на эпюре $Q$ величиной $P$, излом на эпюре $M$
• сосредоточенный момент $m$: скачок на эпюре $M$ величиной $m$, эпюра $Q$ не меняется
• там, где $Q=0$, производная $M$ равна нулю — на эпюре $M$ экстремум

Как играют Q и M на живом графике?#

Ниже — шарнирная балка пролётом 6 м под равномерной нагрузкой. Фиолетовая кривая — момент $M(x)=\frac{qx(6-x)}{2}$, зелёная — поперечная сила $Q(x)=q(3-x)$: при $q=10$ реакции опор составляют 30 кН. Двигайте ползунок нагрузки и следите за двумя вещами: вершина параболы всегда сидит там, где сила пересекает ноль, а наклон параболы в каждой точке равен ординате силы.

Как построить эпюры для консоли с силой на конце?#

Консоль длиной 3 м, на свободном конце сила $P=2$ кН вниз. Первый практический приём: разрезы ведут от свободного конца, тогда реакции в расчёте не участвуют вовсе. Забавно, что половина ошибок на зачёте рождается из обратной привычки — лезть в реакции там, где они не нужны.

1. 1
   Разрез на расстоянии $x$ от свободного конца ($0\le x\le 3$). На отсечённой части — единственная сила $P=2$ кН вниз.
2. 2
   Поперечная сила: сила справа от разреза направлена вниз — это плюс: $Q(x)=2$ кН на всей длине. Эпюра — прямоугольник.
3. 3
   Момент: сила растягивает верхние волокна, значит $M$ отрицателен: $M(x)=-Px=-2x$.
4. 4
   Ординаты: $M(0)=0$, $M(1,5)=-3$ кН·м, $M(3)=-6$ кН·м. Эпюра — треугольник.
5. 5
   Опасное сечение — у заделки: $|M{|}_{\max }=6$ кН·м, растянута верхняя грань.

Если реакции всё же нужны: опора даёт силу $R_A=2$ кН вверх и реактивный момент 6 кН·м. В заделке реакция — это сила и момент; потерять момент — классическая ошибка, после неё уравнение равновесия перестаёт сходиться и эпюра уезжает в минус уже на первом участке.

Как построить эпюры для шарнирной балки под нагрузкой?#

Балка на двух опорах, пролёт 6 м, равномерная нагрузка $q=10$ кН/м по всей длине. Нагрузка и схема симметричны, поэтому реакции считаются без уравнений: $R_A=R_B=qL/2=10\cdot 6/2=30$ кН. Дальше — разрез на расстоянии $x$ от левой опоры и суммирование всего, что лежит слева. Если опор больше, чем уравнений статики, балка — статически неопределимая: реакции там находят через деформации.

Проверка Журавским: производная момента $dM/dx=30-10x$ — в точности эпюра Q. Сила обнуляется при $x=3$ м, и ровно там парабола имеет вершину: $M_{\max }=30\cdot 3-5\cdot 9=45$ кН·м. Место, где $Q$ меняет знак, — самое интересное на всей балке: там и пик момента, и максимальный прогиб, и половина вопросов преподавателя. Сам прогиб вычисляют из эпюры M — например, методом начальных параметров, не разбивая балку на участки.

Что делать с готовыми ординатами?#

Эпюры — не самоцель. Число $|M{|}_{\max }=45$ кН·м из нашего примера уйдёт в условие прочности и в подбор сечения — этим занимается урок про напряжения при изгибе, где та же балка наконец получит профиль. Чтобы сечение выбрать, понадобятся геометрические характеристики сечений — момент инерции и момент сопротивления. А вопрос «где момент равен нулю» — это точка перегиба упругой линии: термин точка перегиба из словаря описывает ровно эту геометрию.

Типичные ошибки при построении стоит назвать по именам. Первая — потерянный реактивный момент в заделке: эпюра получается наклонённой целиком и не закрывается на опоре. Вторая — несработанные скачки: сила приложена в точке $x=a$, а эпюру $Q$ продолжили гладко. Третья — купол не в ту сторону: под нагрузкой вниз парабола выгнута вниз. Каждая ловится проверкой Журавского за минуту, поэтому проверку не пропускают даже на контрольной, когда время поджимает.

• порядок работы: реакции → участки → $Q$ по сечениям → $M$ по сечениям → проверка Журавским
• консоль удобнее считать от свободного конца — реакции не нужны
• скачок на $Q$ — сила; скачок на $M$ — момент; ноль на $Q$ — экстремум $M$
• опасное сечение ищут там, где $|M|$ максимален (а не там, где $Q$ больше)

Следующий шаг: возьмите первую задачу из домашнего задания, разбейте её на участки и постройте обе эпюры — затем заставьте их пройти проверку Журавского: производная момента обязана лечь точно на ординаты поперечной силы. Совпало — считайте, что половина задачи по изгибу закрыта; вторая половина, напряжения и подбор сечения, ждёт в следующем уроке.