Статически неопределимая балка
англ. Statically indeterminate beam
Балка, у которой неизвестных реакций больше, чем уравнений статики; лишние связи находят из условий совместности деформаций, а эпюры оказываются выгоднее обычных.
Уравнений статики для плоской балки ровно три: две суммы проекций и сумма моментов. Если неизвестных реакций больше трёх, силой мысли их не достать — нужна дополнительная информация. Такие конструкции называют статически неопределимыми, а разницу — степенью неопределимости: например, балка на трёх опорах несёт четыре реакции и является один раз неопределимой. Лишние связи находят из геометрии деформации: прогибы в определённых точках обязаны быть нулевыми, а это условие записывается через уравнение изогнутой оси или через метод сил с единичными состояниями.
Зачем городить эту сложность? Затем, что лишняя связь разгружает пролёты. Неразрезная балка на трёх опорах под равномерной нагрузкой имеет опорный момент величиной и пролётный против в каждом пролёте разрезной: максимальный момент падает вдвое при тех же сечениях. Плата — чувствительность к осадкам опор: разрезная балка не заметит просадку, неразрезная получит моменты без всякой нагрузки. Схема раскрытия и построение эпюр — в уроке поперечный изгиб, прикладной разбор построений — в как строить эпюры.
Частые вопросы
Почему нельзя найти реакции статически неопределимой балки обычным способом?
Потому что уравнений меньше, чем неизвестных: система не доопределена, и бесконечно много наборов реакций удовлетворяют равновесию. Реальный набор выбирает сама конструкция — тот, при котором деформации совместимы с опорами. Именно поэтому в расчёт вводят условие совместности: нулевой прогиб на лишней опоре. Как только оно записано, система замыкается, и реакции определяются однозначно — уже с учётом жёсткости, а не только равновесия.
Что произойдёт с неразрезной балкой при осадке опоры?
Появятся усилия без всякой внешней нагрузки: лишние связи не позволяют балке просто просесть, она изогнётся, и в сечениях возникнут моменты. Разрезная балка на это отвечает подъёмом конца и всё; неразрезная — перераспределением моментов по всей длине. Поэтому в мостах и перекрытиях осадки опор прогнозируют, а иногда специально делают разрезную схему или ставят шарниры. Эффект — плата за выигрыш в моментах от постоянной нагрузки.