Напряжения при изгибе: формула, Wx и расчёт на прочность

Полка из ДСП прогнулась и треснула по нижней кромке. Поставили её на ребро — та же доска, тот же вес книг, но теперь держит. Арифметика здесь безжалостная: одна и та же площадь сечения, а несущая способность отличается в десять раз. Весь секрет — в распределении напряжений по высоте сечения и в одной величине, которая это распределение упаковывает: моменте сопротивления. Разберём формулу, которая превращает эпюру моментов в конкретную толщину металла.

Что утверждает гипотеза плоских сечений?#

Возьмём балку и нанесём на её боковую поверхность сетку из продольных и поперечных линий. Под нагрузкой продольные линии искривляются, а вот поперечные остаются прямыми и перпендикулярными к оси. Это и есть гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские и перпендикулярные оси до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными после него. Гипотеза подтверждена точными замерами и расчётами теории упругости для длинных балок — на ней стоит весь практический расчёт изгиба.

Из гипотезы мгновенно следует картина деформации. Волокна с одной стороны оси удлиняются (растянуты), с другой — укорачиваются (сжаты). Между ними обязательно живёт слой волокон, которые не изменили длины ни на йоту, — нейтральный слой. Линия, по которой он пересекает сечение, — нейтральная линия; при плоском изгибе она проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно плоскости изгиба. Там, где σ = 0, напряжения меняют знак.

Волокно, отстоящее от нейтрального слоя на расстояние $y$, растянуто тем сильнее, чем больше $y$: удлинения растут пропорционально расстоянию, как спицы веера. А по закону Гука — той же связи, что при растяжении и сжатии — напряжение пропорционально деформации. Итого — напряжения по высоте сечения распределены по линейному закону: ноль на нейтральной линии, максимум на крайних волокнах. Именно поэтому материал в середине двутавра почти не работает, и его переносят в полки.

Как вывести формулу σ = M·y/Ix?#

Вывод собирается из трёх фактов, каждый — одна строка. Первый: на сечение действуют только изгибающий момент и никакой продольной силы, значит сумма элементарных осевых сил по площади равна нулю. Второй: элементарная сила на площадке $dA$ равна $\sigma dA$, а напряжение растёт линейно: $\sigma =ky$, где $k$ — пока неизвестный коэффициент. Третий: сумма моментов этих элементарных сил обязана равняться внешнему моменту $M$ в сечении.

Собираем: $\sigma =ky=\frac{My}{I_x}$. Интеграл ${\int }_A{y}^{2}dA$ — знакомый по уроку про геометрические характеристики сечений осевой момент инерции; в общем виде это двойной интеграл по площади — термин интеграл из словаря и урок про двойные интегралы покажут его со всех сторон. Формула справедлива для чистого изгиба, а при поперечном её применяют без поправок — гипотеза плоских сечений прощает.

Посмотрим на формулу вживую. Ниже — распределение напряжений по высоте двутавра №24 из нашего числового примера: по горизонтали координата $y$ в миллиметрах от нейтральной линии, по вертикали напряжение в МПа. Ползунок — наклон прямой, он же $M/I_x$: при 1,3 МПа/мм крайнее волокно на $y=120$ мм получает 156 МПа. Верхняя половина сечения растянута, нижняя сжата, в середине — ноль.

Что такое момент сопротивления и зачем он нужен?#

В расчёте интересует не напряжение в каждой точке, а максимум: ${\sigma }_{\max }=M{y}_{\max }/I_x$. Дробь $I_x/y_{\max }$ встречается в каждой задаче, поэтому ей дали имя — осевой момент сопротивления $W_x$. Момент инерции делённый на расстояние до крайнего волокна. Размерность — см³, и это честно отражает смысл: $W_x$ — «рычаг сечения», число, на которое делится момент, чтобы дать максимальное напряжение.

Формула прямоугольника отвечает на загадку полки из вступления. Доска сечением 25 × 2,5 см: плашмя $W_x=\frac{25\cdot 2,5^2}{6}=26$ см³, на ребре $W_x=\frac{2,5\cdot 25^2}{6}=260$ см³. Площадь одна и та же — 62,5 см², а момент сопротивления отличается в десять раз, потому что в кубе сидит высота. Именно так: $W_x\sim h^2$, а момент инерции вообще $\sim h^3$.

Кольцо из той же логики: трубы ставят под флагштоки и велосипедные рамы, а не стержни-палочки. Убрав сердцевину сечения, материал у которой почти не работает — рядом с нейтральной линией напряжения близки к нулю, — мы теряем в площади, но почти не теряем в моменте инерции. У трубы 200/160 мм из таблицы $W_x=463$ см³: на 41% меньше сплошного круга тех же 200 мм, зато и площадь упала с 314 до 113 см² — на 64%. Лёгкость против прочности: соотношение, из которого родилась вся металлоконструкция.

Как работают касательные напряжения по Журавскому?#

Поперечный изгиб добавляет к нормальным ещё касательные напряжения. Их распределяет формула Журавского: $\tau =\frac{Q{S}_x}{I_{x}b}$, где $Q$ — поперечная сила в сечении, $S_x$ — статический момент отсечённой части сечения, $b$ — ширина сечения на уровне точки. Максимум живёт на нейтральной линии, где статический момент наибольший, а к нулю формула спадает у крайних волокон — картина зеркальна нормальным напряжениям.

Для прямоугольника формула даёт ${\tau }_{\max }=1,5Q/A$ — полторы средних. Для двутавра срез почти целиком берёт на себя стенка: полки далеко от нейтральной линии, зато узкие. Считать её несложно. Прямоугольная балка 15 × 30 см под силой $Q=30$ кН: ${\tau }_{\max }=1,5\cdot 30000/450{\text{см}}^2=1$ МПа — и всё. Напряжение от кручения считается похожей дробью $\tau =T/W_{\rho }$, только делится крутящий момент, а не сила; эпюры того и другого сравниваются в уроке про кручение валов. В типовых пролётных балках касательные в разы меньше нормальных: при $Q=30$ кН и двутавре №24 выходит около 25 МПа против 156 МПа от изгиба. Проверка $\tau$ становится решающей для коротких балок с большой силой и малым моментом, тонкостенных сечений и деревянных балок, где волокна скалываются вдоль.

Как подобрать сечение: полный пример с двутавром?#

Условие прочности при изгибе: ${\sigma }_{\max }=\frac{M}{W_x}\le [\sigma ]$. Из него выходят три типа задач: проверка готового сечения, подбор $W_x\ge M/[\sigma ]$ и поиск допускаемой нагрузки. Прорешаем вторую — она самая ходовая в курсе и в практике.

Где берётся само число $[\sigma ]=160$ МПа? Допускаемое напряжение — это предельное, делённое на коэффициент запаса. Для пластичной стали за предельное принимают предел текучести: $[\sigma ]={\sigma }_{т}/n$ при $n=1,4-1,6$; для хрупких материалов ориентируются на предел прочности и берут запас побольше. Полную логику этого выбора разбирает урок про растяжение и сжатие — условие прочности при изгибе устроено точно так же, меняется лишь формула расчёта напряжения.

Задача: стальная балка пролётом 6 м под равномерной нагрузкой $q=10$ кН/м, допускаемое напряжение $[\sigma ]=160$ МПа. Из урока про эпюры Q и M там уже посчитан максимум момента: $M_{\max }=45$ кН·м в середине пролёта. Требуемый момент сопротивления:

Про сортамент — ровно один абзац, без ностальгии по бумажным таблицам. ГОСТ 8239-89 — сортамент горячекатаных двутавров: для каждого номера указаны высота, ширина полок, площадь, $I_x$, $W_x$ и статический момент. Номер двутавра — это высота в сантиметрах: №24 имеет высоту 240 мм. Между №22 (232 см³) и №24 (289 см³) в сортаменте нет промежуточного профиля — отсюда недогруз 3%, и это нормально: материал выбирают «вверх» по таблице, а не индивидуально под задачу.

Последний взгляд — на жёсткость. Прогиб ограничивают величиной порядка $L/250$: для пролёта 6 м это 24 мм. Для выбранного №24 максимальный прогиб под нашей нагрузкой получается около 24,4 мм — точно на границе. Смысл в том, что прочность и жёсткость — разные требования с разными показателями: прочность ведёт $W_x$, жёсткость ведёт $I_x$. При жёстких требованиях к прогибу берут следующий номер сортамента, и это обычная практика, а не признак ошибки. Наряду с прогибом в проверку жёсткости входит и угол поворота сечения — угол наклона оси балки.

Следующий шаг конкретный: откройте любую задачу из вашего семестрового задания, достаньте оттуда эпюру $M$ и прогоните её через три строчки — максимум момента, требуемый $W_x$, номер из сортамента. Потом проверьте недогруз: если он больше 5%, сечение можно ослабить, если есть перегруз — поднимайтесь на номер выше. Когда эту цепочку вы делаете на автомате за десять минут, изгиб как тема закрыт; дальше наступает очередь изгиба с кручением и устойчивости сжатых стержней.