🏗️ Сопромат

Прогиб балки

англ. Beam deflection

Поперечное перемещение v(x) оси балки в сечении x; считается через изгибную жёсткость EI из уравнения изогнутой оси и проверяется на жёсткость наряду с прочностью.

Прогиб $v (x)$ — перемещение точки оси балки поперёк оси; линия $v (x)$ по всей длине называется упругой линией или линией прогибов. Прочность балки ещё не значит жёсткости: напряжения могут быть в норме, а пол провисать заметно глазу и штукатурке. Именно поэтому нормы задают предельные прогибы — доли пролёта вроде $l /250$ . Физика простая: чем больше изгибная жёсткость $E I$ , где $E$ — модуль упругости, $I$ — осевой момент инерции сечения, тем меньше прогиб при том же моменте. Прогиб растёт с пролётом быстрее всего — как четвёртая степень для равномерной нагрузки.

Пример с числами: стальная шарнирная балка $l = 2$ м с силой $P = 10$ кН посередине, двутавр с $I = 2 \cdot 1 0^{- 5}$ м⁴, $E = 2 \cdot 1 0^{11}$ Па. Прогиб под силой $f = P l^{3} / (48 E I) = 1 0^{4} \cdot 8/ (48 \cdot 4 \cdot 1 0^{6}) \approx 4, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ м — около $0, 4$ мм, меньше миллиметра. У консоли с той же нагрузкой на конце прогиб $P l^{3} / (3 E I)$ в шестнадцать раз больше при равном пролёте: закрепление решает. Как из момента получить линию прогибов — в терминах дифференциальное уравнение изогнутой оси; наклон этой линии — угол поворота сечения.

E I v^{''} (x) = \pm M (x), f_{шар} = \frac{P l ^{3}}{48 E I}, f_{конс} = \frac{P l ^{3}}{3 E I}

прогиб выпрямляется из эпюры моментов; для силы посередине пролёта и для консоли — классические готовые формулы

Частые вопросы

Чем прогиб отличается от угла поворота сечения?

Это две характеристики одной линии: прогиб — само поперечное смещение $v (x)$ , угол поворота — наклон касательной к изогнутой оси, приближённо равный производной $v^{'} (x)$ . Угол измеряется в радианах и при малых прогибах мал сам по себе. В шарнирных опорах прогиб нулевой, а углы поворота максимальны; посередине пролёта под симметричной нагрузкой наоборот: прогиб максимальный, угол нулевой.

Как уменьшить прогиб, не меняя материал?

Работать с геометрией и схемой. Прогиб обратен моменту инерции $I$ : перемещение материала от нейтральной линии (двутавр вместо полосы той же площади) резко поднимает $I$ . Второй рычаг — пролёт: для равномерной нагрузки прогиб пропорционален четвёртой степени, и добавленная промежуточная опора снижает его на порядок. Третий — уменьшение изгибающего момента смещением нагрузки ближе к опорам. Задача о жёсткости решается до задачи о прочности чаще, чем кажется.