🏗️ Сопромат

Дифференциальное уравнение изогнутой оси

Q: Почему в уравнении вторая производная, а не четвёртая?

Обе формы верны и связаны друг с другом. Форма $E I v'' = M$ работает, когда эпюра моментов уже построена: слева известное, справа искомое. Продифференцировав её дважды и подставив $M'' = -q$ через [дифференциальные зависимости при изгибе](/terminy/differencialnye-zavisimosti-izgiba/), получаем $E I v'''' = q$ — уравнение четвёртого порядка, удобное, когда нагрузка задана, а момент не построен: постоянных четыре, по паре условий на каждом конце.

англ. Beam deflection equation

Связь EIv″ = M(x) между изгибающим моментом и кривизной упругой линии; дважды интегрируя эпюру моментов, получают угол поворота и прогиб балки.

Изогнутая ось балки — это кривая, и у кривой есть кривизна. При малых прогибах кривизна приближается второй производной $v^{''}$ , и связь её с моментом даёт дифференциальное уравнение изогнутой оси: произведение изгибной жёсткости $E I$ на $v^{''}$ равно изгибающему моменту $M (x)$ со знаком по выбранному правилу. Уравнение — мост между двумя половинами сопромата: справа эпюры, слева деформации. Алгоритм классический: пишем $M (x)$ по участкам, интегрируем один раз — получаем углы поворота $E I v^{'} + C_{1}$ , интегрируем второй — прогибы $E I v + C_{1} x + C_{2}$ , а постоянные находим из условий закрепления.

Пример: консоль длиной $l$ с силой $P$ на конце. Изгибающий момент $M (x) = - P x$ от свободного конца к заделке; интегрируем: $E I v^{'} = - P x^{2} /2 + C_{1}$ , $E I v = - P x^{3} /6 + C_{1} x + C_{2}$ . В заделке ( $x = 0$ ) и прогиб, и угол нулевые, значит $C_{1} = C_{2} = 0$ , и на конце $v (l) = - P l^{3} / (6 E I)$ по модулю $P l^{3} / (3 E I)$ — ровно готовая формула из терминов прогиб балки. Для балок с многими участками каждую пару стыков склеивают непрерывностью $v$ и $v^{'}$ ; вычислительно удобнее сразу метод начальных параметров.

E I v^{''} (x) = \pm M (x), E I v^{'} = \int M d x + C_{1}, E I v = \iint M d x d x + C_{1} x + C_{2}

двойное интегрирование эпюры моментов: первый интеграл — углы поворота, второй — прогибы; постоянные закрывают условия закрепления

Частые вопросы

Почему в уравнении вторая производная, а не четвёртая?

Обе формы верны и связаны друг с другом. Форма $E I v^{''} = M$ работает, когда эпюра моментов уже построена: слева известное, справа искомое. Продифференцировав её дважды и подставив $M^{''} = - q$ через дифференциальные зависимости при изгибе, получаем $E I v^{''''} = q$ — уравнение четвёртого порядка, удобное, когда нагрузка задана, а момент не построен: постоянных четыре, по паре условий на каждом конце.

Сколько постоянных интегрирования и как их находят?

Две на каждый участок при форме второго порядка — и это главный источник арифметических мук: балка из трёх участков даёт шесть констант. Их находят из граничных условий (опоры запрещают прогиб, заделка ещё и угол) и условий сопряжения: в промежуточных точках прогиб и угол слева равны прогибу и углу справа. Метод начальных параметров сшивает всё в одну формулу с четырьмя постоянными на всю балку — ради этого он и придуман.