Кручение валов круглого сечения: от мощности до диаметра

Вал привода конвейера лопнул через год эксплуатации — по гладкому косому срезу под сорок пять градусов. Ни перегруза, ни дефекта металла, ни усталостной трещины. Ответ спрятан в геометрии кручения: касательные напряжения здесь ходят парами и на площадках под 45° складываются в чистое растяжение — металл разрывает сама закрутка. Разберём кручение с нуля: от мощности двигателя до диаметра вала, с проверкой и по прочности, и по жёсткости.

Какой момент приходит на вал от двигателя?#

Вал — проводник мощности. Двигатель отдаёт $P$ киловатт, вал вращается с частотой $n$ об/мин, и нагрузкой для него служит крутящий момент. Связь даёт механика вращения: мощность равна моменту, умноженному на угловую скорость, $P=T\omega$, где $\omega =\pi n/30$ рад/с (полная механика — в уроке вращательное движение). Переводим киловатты в ватты и выражаем момент:

Проверка на пальцах: двигатель 20 кВт при 300 об/мин отдаёт $T=9550\cdot 20/300\approx 637$ Н·м. Разгоните тот же двигатель до 3000 об/мин — момент упадёт вдесятеро, до 64 Н·м. Отсюда бытовое правило механиков: медленные валы нагружены сильнее — потому они и толще. Сам момент, кстати, и есть пара сил: её устройство разобрано в уроке про моменты и пары сил.

Обратная задача тоже встречается: по известному моменту и оборотам восстанавливают мощность привода — механика та же, просто решаем относительно $P$. В каталогах двигателей, между прочим, указаны именно номинальная мощность и скорость; момент приходится вычислять самому. Отсюда первая привычка расчётчика валов: начать с перевода каталога в ньютон-метры, и только потом браться за сечения.

Как найти внутренний крутящий момент?#

Дальше — знакомый по методу сечений ритуал: разрезаем, отбрасываем, заменяем, уравновешиваем. В сечении действует крутящий момент $T$, равный сумме внешних моментов по одну сторону разреза. Знак назначают условно — например, по правилу правой руки, глядя на сечение со стороны внешней нормали; важно лишь провести одну конвенцию через всю задачу. Эпюра $T$ ступенчата: между шкивами и шестернями момент постоянен, в точках их приложения — скачки. Опасное сечение ищут по максимуму $|T|$.

Мини-пример на эпюру. Ведущий шкив двигателя закручивает вал моментом 800 Н·м, два ведомых снимают 500 и 300 Н·м. Слева от первого ведомого в сечении течёт $T=800$ Н·м, между ведомыми — $800-500=300$ Н·м, за вторым — ноль. Эпюра — три ступени, опасное сечение у двигателя. Баланс сошёлся: $800=500+300$ — вал в установившемся режиме ничего не ускоряет.

Правило знаков формализуют так: смотреть на сечение со стороны внешней нормали; момент против часовой стрелки — плюс. Левая и правая части дают противоположные по знаку значения — это нормально, сравнивать при проверке следует модули.

Как распределены касательные напряжения: τ = Tρ/Ip#

Как момент живёт по сечению? Геометрия подсказывает: закручиваясь, круглые сечения поворачиваются как жёсткие диски, и сдвиг в каждой точке пропорционален расстоянию $\rho$ от оси. По закону Гука при сдвиге $\tau =G\gamma$ напряжения растут по тому же линейному закону — от нуля в центре до максимума на поверхности:

Откуда формула? Разбейте сечение на тонкие кольца радиусом $\rho$ и толщиной $d\rho$: площадь кольца $dA=2\pi \rho d\rho$, а каждый элемент тянет с плечом $\rho$. Равенство внутреннего момента сумме элементов $\int \tau \rho dA$ вместе с линейностью $\tau (\rho )$ и даёт формулы выше — коэффициенты $\pi /16$ и $\pi /32$ следы именно этого интеграла.

Теперь понятен и срез под 45° из начала урока. Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках ходят парами, и на площадках, наклонённых под 45° к оси, они складываются в чистое нормальное растяжение. Хрупкий материал слабее всего держит именно растяжение — чугунный вал и лопается по винтовой поверхности. Пластичная сталь, напротив, срезается по поперечному сечению, где правят касательные напряжения.

Условие прочности при кручении: ${\tau }_{\max }\le [\tau ]$. Касательные допускаемые для стали принимают примерно вдвое ниже нормальных: $[\tau ]\approx 0,5[\sigma ]$ — в нашей задаче 40 МПа. Строгий обоснованный ответ дают теории прочности (их обзор — в уроке о сложном сопротивлении): для пластичных материалов критерий максимальных касательных напряжений снижает допускаемое касательное вдвое против нормального. В учебных задачах на чистое кручение это число просто принимают.

Модуль сдвига $G$ — жёсткость материала против среза; он связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона соотношением $G=E/(2(1+\nu ))$. Для стали при $\nu =0,3$ выходит около 77 ГПа, в расчётах принимают $G=80$ ГПа. Сам закон Гука при сдвиге симметричен растяжению: $\tau =G\gamma$, где $\gamma$ — угол сдвига. Единицы снова решают: момент в Н·мм, размеры в мм, напряжение в МПа — и всё сходится; перепутать Н·м с Н·мм — ошибка в тысячу раз, которая проскочит через формулы незаметно.

Насколько вал закрутится: угол и жёсткость#

Вал должен не только не сломаться — он не должен пружинить слишком сильно: перекрученный вал редуктора рождает вибрации и ошибки позиционирования. Взаимный угол поворота двух сечений на расстоянии $l$:

Типичные допуски $[{\phi }_0]=0,\mathrm{25...1}$ градус на метр — жёсткость часто решает больше, чем прочность. Заметьте полную симметрию с растяжением из урока про эпюры и удлинения: $\phi$ соответствует $\Delta l$, $G{I}_p$ — жёсткости $EA$, $[{\phi }_0]$ — допускаемому напряжению. Кто освоил растяжение, тот наполовину освоил кручение — это структура предмета, а не лесть. Произведение модуля сдвига и полярного момента инерции при этом зовут жёсткостью при кручении.

Длина вала в относительном угле спрятана, но не исчезла: полный угол $\phi$ растёт пропорционально длине. Длинный трансмиссионный вал закрутится заметно сильнее короткого при том же моменте — а вместе с жёсткостью изменятся крутильные собственные частоты: вал начинает «играть» на рабочих оборотах. Поэтому у длинных трансмиссий проверяют ещё и колебания — но это уже следующий курс.

Полный пример: вал на 20 кВт#

Дано: вал передаёт $P=20$ кВт при $n=300$ об/мин; сталь, $G=80$ ГПа; допускаемые $[\tau ]=40$ МПа и $[{\phi }_0]=0,5$ град/м. Требуется диаметр сплошного вала — и заранее предупредим: первый кандидат не пройдёт.

Почему в ответе ждите 45, а не 43,3? Инженерные размеры идут по стандартным рядам: 40, 42, 45, 48, 50, 56… Округление вверх до ближайшего стандартного значения — часть ответа, а не формальность: под 45 мм существуют подшипники, шкивы и посадки, а под произвольным числом — нет.

Вот и развязка: прочность отпускала 45 мм, но жёсткость потребовала 56. Для длинных валов это обычная ситуация — деформации растут как $1/I_p$, а допускаемый угол жёсткий, и условие жёсткости выходит на первое место. Кто победит в конкретной задаче, решает число, а не интуиция: считайте оба условия всегда.

Ступенчатый вал считают по частям: эпюра $T$ даёт момент на каждом участке, а напряжения и углы считают для своего диаметра. Опасным может оказаться не самый нагруженный, а самый тонкий участок — сравнивайте не моменты, а отношения $T/W_p$ по участкам. Полный угол закручивания складывается из углов участков — ровно как удлинение в растяжении.

Почему кольцо выгоднее сплошного вала?#

Вернитесь к эпюре напряжений выше: у самой оси металл почти не работает, $\tau \to 0$. Значит, сердцевину сплошного вала можно убрать, а высвобожденный материал перенести наружу, где напряжения максимальны, — растянув радиус и выиграв на четвёртой степени диаметра. Для кольца с отношением $\alpha =d/D$ полярный момент сопротивления равен $W_p=\pi D^3(1-{\alpha }^4)/16$.

Числа. При той же прочности ($W_p=15918$ мм³, $\alpha =0,8$) сплошному валу нужен $D=43,3$ мм и площадь сечения $1470$ мм²; кольцу — $D=51,6$ мм при $d=41,3$ мм и площади всего $752$ мм². Почти вдвое меньше металла за ту же несущую способность. Плата — дорогая технология сверления и проверка тонкой стенки на местную устойчивость; в авиации и автостроении она окупается всегда, в бытовых редукторах чаще побеждает сплошной пруток.

Зависимость от $\alpha$ нелинейна. При $\alpha =0,5$ в скобках остаётся $1-0,0625=93,75\%$ момента сопротивления — потеря 6,25% при ощутимом облегчении; при $\alpha =0,8$ остаётся $59\%$. Тонкие стенки выгодны на бумаге, но упираются в местную устойчивость: труба складывается, как жестяная, если стенку сделать слишком тонкой.

Следующий шаг — усложнение: реальные валы несут кручение и изгиб одновременно, и складывать их эффекты приходится через теории прочности — об этом урок сложное сопротивление. Моменты инерции и сопротивления из этого урока разобраны подробнее в геометрических характеристиках сечений, а механика вращения собрана в шпаргалке по формулам физики: механика.

• Момент от двигателя: $T=9550P/n$ (кВт, об/мин, Н·м) — медленный вал нагружен сильнее.
• Эпюра $T$: ступени между точками приложения моментов, скачки равны моментам.
• Напряжения: $\tau =T\rho /I_p$ линейны по радиусу, максимум на поверхности: ${\tau }_{\max }=T/W_p$.
• Закручивание: $\phi =Tl/(G{I}_p)$; жёсткость проверяют по ${\phi }_0=T/(G{I}_p)\le [{\phi }_0]$.
• Полый вал переносит материал наружу: при $\alpha =0,8$ — вдвое меньше веса при равной прочности.