Как решать пределы с корнями: три техники на все случаи

В числителе корень, в знаменателе $x$ — и подстановка даёт $\frac{0}{0}$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$. Сокращать нечего, умножать на $x$ нельзя, а Лопиталь звать рановато — у пределов с корнями есть собственный набор из трёх приёмов, и каждый прилипает к своему виду задачи. Разберём, какой приём к какому виду липнет, и почему корень из суммы не равен сумме корней.

Маршрут такой: сначала общий алгоритм выбора техники, затем три разобранных примера — по одному на приём, потом коллекция ошибок, из-за которых в основном теряют баллы. Общая теория пределов и неопределённостей — в уроке предел функции, формулы под рукой — в шпаргалке по пределам; здесь — только техника.

1. 1
   Подставьте точку и определите неопределённость: $\frac{0}{0}$, $\infty -\infty$ или что-то ещё. Неопределённости нет — предел равен значению в точке, задача уже решена.
2. 2
   Разность корня и числа (или двух корней) при $x\to x_0$ — умножайте на сопряжённое: $(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$. Иррациональность выйдет из числителя, где её можно сократить.
3. 3
   Корень в дроби с $x\to \infty$ — вынесите старшую степень из-под корня: $\sqrt{x^2+3x}=x\sqrt{1+3/x}$ при $x\ge 0$. Младшие слагаемые растворятся в единице под корнем.
4. 4
   $\infty -\infty$ с корнями — сначала домножьте на сопряжённое, чтобы получить дробь, дальше работает приём из шага 3.
5. 5
   Разность корня и единицы при $x\to 0$: $\sqrt[n]{1+u}-1\sim \frac{u}{n}$. Одна строка вместо страницы выкладок — если уметь применять законно.
6. 6
   Проверьте ответ графиком или подстановкой близкой точки. Корень сужает область определения: если точка на её краю, предел бывает односторонним.

Техника 1: сопряжённое выражение#

Сопряжённое к $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ — это $\sqrt{A}+\sqrt{B}$: те же слагаемые, но с плюсом посередине. Разность квадратов пожирает корни: $(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)=(x+4)-4=x$. Знаменатель при этом умножают на то же выражение, чтобы дробь не изменилась — множитель $\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}$ при точке стремления равен единице.

1. 1
   Подстановка $x=0$ даёт $\frac{0}{0}$ — корень в числителе, приём сопряжённого.
2. 2
   Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{x+4}+2$: $\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}$.
3. 3
   Числитель сворачивается в разность квадратов: $(x+4)-4=x$.
4. 4
   Сокращаем $x$ — единственный множитель, мешавший подстановке: $\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$.
5. 5
   Теперь функция непрерывна в нуле, подставляем: $\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$.
6. 6
   Контроль: график ниже прижимается к горизонтали $y=0,25$ с обеих сторон — дырка в нуле видна, а предел существует.

Техника 2: старшая степень и $\infty - \infty$#

Когда $x$ уходит в бесконечность, под корнем сравниваются степени. Вынесите из-под корня старшую степень переменной и не забудьте про знак: $\sqrt{x^2+3x}=|x|\sqrt{1+3/x}$, и при $x\to +\infty$ модуль открывается со знаком плюс, а при $x\to -\infty$ — со знаком минус. Вот где корни кусаются чаще всего.

Пример 2, классика контрольных: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$. Подстановка даёт $\infty -\infty$, и это не ноль и не бесконечность — это приглашение к сопряжённому.

Делим числитель и знаменатель на $x$: числитель даёт $3$, в знаменателе $\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}=\sqrt{1+3/x}\to 1$ и второе слагаемое $x/x=1$. Ответ: $\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$.

Техника 3: эквивалентности малых#

Если под корнем сидит единица с малой добавкой, работает эквивалентность $\sqrt[n]{1+u}-1\sim \frac{u}{n}$ при $u\to 0$ — следствие первого замечательного предела или, аккуратнее, разложения Тейлора. Она заменяет только множители, а не слагаемые: в произведении и частном заменяйте смело, в сумме — никогда.

Пример 3: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[4]{1+3x}-1}{x}$. Здесь $u=3x$, степень $n=4$, значит числитель эквивалентен $\frac{3x}{4}$, и весь предел равен $\frac{3}{4}$. Три множителя — три строки; сопряжённое с четвёртой степенью заняло бы полстраницы.

Типичные ошибки#

• $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Корень из суммы не разложим; сокращать можно только сопряжённым или заменой.
• Знак модуля. При $x\to -\infty$ пишут $\sqrt{x^2}=x$ и получают $-\frac{3}{2}$ вместо $\frac{3}{2}$ во встречных вариантах задачи — всегда фиксируйте знак $x$ перед раскрытием.
• Эквивалентность в слагаемых. Замена в сумме законна, если разность не даёт неопределённость; иначе — разложения Тейлора до первого ненулевого остатка.
• Забытая ОДЗ. ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}$ существует и равен нулю, слева функция не определена — двусторонний предел в такой точке не пишут.
• Подмена задачи. Умножать на сопряжённое нужно и числитель, и знаменатель; умножение одного числителя меняет значение выражения.

Куда дальше: определение и свойства предела — в уроке предел функции, старшие степени без корней — в замечательных пределах, аварийный инструмент — в правиле Лопиталя. Эквивалентности одним списком — в таблице эквивалентностей и решателе эквивалентностей; общий алгоритм пределов — в разборе как решать пределы, практика — в задачах на пределы и тренажёре пределов.