Неопределённость 0/0

Неопределённость $\frac{0}{0}$ — ситуация, когда и числитель, и знаменатель стремятся к нулю одновременно. Запись не означает «ноль делить на ноль» — она означает, что прямая подстановка ничего не сказала: обе величины гаснут, но с разной скоростью, и весь вопрос в том, кто быстрее. Ответ может быть любым: ноль, число, бесконечность.

Приёмы раскрытия, по нарастающей мощности: разложение на множители (выше); умножение на сопряжённое — когда в числителе корень; первый и второй замечательные пределы — для тригонометрии и экспонент; правило Лопиталя — производные числителя и знаменателя отдельно. Все они обслуживают одну и ту же цель: вытащить из дроби отношение скоростей.

Пример с корнем: ${\lim }_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{x+5}+3$: числитель превращается в $(x+5)-9=x-4$, дробь сокращается, остаётся $\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\to \frac{1}{6}$. Проверка Лопиталем: производные дают $\frac{1}{2\sqrt{x+5}}\to \frac{1}{6}$ — сошлось. Два пути, один ответ: так проверяют себя на контрольной.

$\frac{0}{0}$ — сигнал о дырке, а не приговор. Функция $\frac{x^2-4}{x-2}$ в точке 2 не определена вовсе, но предел равен 4: график — прямая с выколотой точкой, которую можно «заколоть» доопределением. Разница между значением и пределом — сердце всей темы; строгое определение — в статье про предел.

Ещё один пример — на замечательный предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{2x}$. Подстановка даёт $\frac{0}{0}$, но коэффициенты при $x$ честно делятся: перегруппируем $\frac{\sin 5x}{2x}=\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{5x}{2x}\to 1\cdot 2.5=2.5$. Ответ прочитан из множителей без всякого Лопиталя — быстрый путь, который всегда стоит пробовать первым.

Разграничьте два похожих вопроса. Предел в точке — вопрос о поведении функции рядом с ней; значение в точке — вопрос о самой точке. Неопределённость живёт только в первом вопросе. Отсюда практический приём: если подстановка даёт ноль в числителе и в знаменателе — смело сокращайте общий множитель; он обязан существовать в окрестности, просто в самой точке обращается в ноль. Сокращение — не алгебраический трюк, а способ прочитать, как функция устроена рядом с проблемным местом.