🌊 Диффуры

Фазовая плоскость

Q: Чем фазовая плоскость отличается от поля направлений одного уравнения?

Для одного ОДУ $y' = f(x, y)$ поле задаёт лишь наклон штрихов, и решения — графики функций над осью $x$. Для системы поле векторное: в каждой точке стрелка $(f, g)$, траектории живут в двумерном потоке и не обязаны быть графиками. Фазовая плоскость — обобщение, где вместо наклона — полный вектор скорости.

англ. Phase plane

Плоскость $(x, y)$, на которой траектории автономной системы $x' = f(x, y)$, $y' = g(x, y)$ изображаются кривыми со стрелками без оси времени. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр.

Фазовая плоскость — способ рисовать решения системы двух автономных уравнений $x^{'} = f (x, y)$ , $y^{'} = g (x, y)$ без оси времени. Точка плоскости — состояние системы, кривая со стрелкой — траектория: как меняется состояние, если время ползёт само. Оси — это $x$ и $y$ , а время спрятано в параметризацию; стрелка заменяет ось $t$ . Точки, где правые части зануляются, $f = g = 0$ , — положения равновесия, они же особые точки: система пришла и осталась. Полный набор траекторий с стрелками называется фазовым портретом. Такой взгляд родом из механики маятника и небесной механики, сегодня — язык теории колебаний, экологии и любой динамики.

Интуиция: траектория — след бумажного самолётика над столом, стрелки показывают, в какую сторону он летел; высота-время уже не важна, важен маршрут. Для линейной системы $u^{'} = A u$ тип особой точки в начале координат читается по собственным значениям матрицы $A$ , которые находят из характеристического уравнения. Вещественные значения одного знака — узел: все траектории входят (устойчивый узел) или выходят из нуля. Разных знаков — седло: притяжение по одному направлению, отталкивание по другому. Комплексные с ненулевой вещественной частью — фокус: закручивающиеся спирали. Чисто мнимые — центр: вложенные замкнутые кривые, периодические колебания.

λ^{2} - (tr A) λ + det A = 0; узел - λ_{1, 2} \in R, λ_{1} λ_{2} > 0; седло - λ_{1} λ_{2} < 0; фокус / центр - Re λ \neq = 0/ Re λ = 0

классификация особой точки линейной системы по собственным значениям; трасса и определитель дают тип без явных формул решений

Четыре канонических примера. Седло: $x^{'} = x$ , $y^{'} = - y$ — собственные значения $1$ и $- 1$ , траектории — гиперболы $x y = C$ , оси — сепаратрисы. Устойчивый узел: $x^{'} = - x$ , $y^{'} = - 3 y$ — значения $- 1$ и $- 3$ , все траектории стремятся к нулю, касаясь медленного направления $y = 0$ . Центр: $x^{'} = - y$ , $y^{'} = x$ — значения $\pm i$ , вторая производная даёт $x^{''} = - x$ , траектории — окружности $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ : вечные колебания. Устойчивый фокус: матрица $(- 1 - 1 1 - 1)$ , трасса $- 2$ , определитель $2$ , $λ^{2} + 2 λ + 2 = 0$ , корни $λ = - 1 \pm i$ — спирали, закручивающиеся к нулю: колебания с затуханием.

Фазовые портреты строятся и разбираются в уроке системы дифференциальных уравнений, устойчивость и её связь с типами особых точек — в уроке устойчивость решений; собственные значения матриц считает урок собственные значения и векторы. Словарь: матрица, собственный вектор — направления, вдоль которых траектории прямолинейны, дифференциальное уравнение — общий каркас темы.

Частые вопросы

Почему на фазовой плоскости не нужна ось времени?

Система автономна: правые части зависят только от состояния, а не от $t$ . Поэтому через каждую точку проходит ровно одна траектория с определённым направлением — время избыточно, достаточно стрелки. Если нужна скорость прохождения участка, параметризацию восстанавливают отдельно.

Чем фазовая плоскость отличается от поля направлений одного уравнения?

Для одного ОДУ $y^{'} = f (x, y)$ поле задаёт лишь наклон штрихов, и решения — графики функций над осью $x$ . Для системы поле векторное: в каждой точке стрелка $(f, g)$ , траектории живут в двумерном потоке и не обязаны быть графиками. Фазовая плоскость — обобщение, где вместо наклона — полный вектор скорости.