🌊 Диффуры

Изоклина

Q: Зачем нужна нуль-изоклина?

На ней $y' = 0$ — решения имеют горизонтальные касательные, поэтому кривые решений локально ведут себя как вершины холмов и впадины. Для $y' = x + y$ нуль-изоклина $x + y = 0$ подсказывает, где решения разворачивают тангенс, а сравнение наклона самой прямой $(-1)$ с нулевым полем показывает, что решением она не будет.

англ. Isocline

Линия равных наклонов для ОДУ $y' = f(x, y)$: множество точек, где $f(x, y) = c$. По семейству изоклин строится поле направлений — геометрический скелет всех решений уравнения.

Изоклина дифференциального уравнения $y^{'} = f (x, y)$ — линия уровня правой части: множество точек, где $f (x, y) = c$ . Слово переводится как «равный наклон»: в каждой точке такой линии решения уравнения имеют один и тот же наклон касательной, равный $c$ . Проведя изоклины для нескольких значений $c$ и посадив на каждую короткие штрихи нужного наклона, получаем поле направлений — карту, по которой решения читаются глазами, без единого интеграла. Часто выделяют нуль-изоклину $f (x, y) = 0$ : на ней касательные горизонтальны, и именно в этих точках решения могут вершины своих экстремумов. Изоклины — инструмент геометрического анализа ОДУ задолго до того, как найдена формула решения.

Интуиция — карта рельефа. Изогипсы соединяют точки одинаковой высоты, изоклины — точки одинакового уклона. Идёшь по изоклине $c = 2$ — всюду вокруг тебя стрелки поля наклонены под углом $arctan 2$ ; перешёл на соседнюю — уклон сменился. Для уравнения $y^{'} = x + y$ изоклина с параметром $c$ — прямая $x + y = c$ : семейство параллельных прямых с наклоном $- 1$ . Поле направлений устроено просто: наклон штриха равен $c$ , то есть растёт с сдвигом прямой вправо-вверх. На прямой $x + y = 0$ все штрихи горизонтальны, на $x + y = 1$ наклонены под $45°$ , на $x + y = - 1$ — под $- 45°$ .

y^{'} = f (x, y), изоклина наклона c : f (x, y) = c; y^{'} = x + y \Rightarrow x + y = c

определение изоклины и её вид для уравнения

y^{'} = x + y

— параллельные прямые; на каждой поле направлений наклонено одинаково

Проверим геометрию аналитически. Уравнение $y^{'} - y = x$ линейное, интегрирующий множитель $e^{- x}$ даёт $(y e^{- x})^{'} = x e^{- x}$ , откуда $y = C e^{x} - x - 1$ . Возьмём $C = 1$ : кривая $y = e^{x} - x - 1$ проходит через $(0; 0)$ , и в ней $y^{'} (0) = 0$ — ровно наклон нуль-изоклины $x + y = 0$ , что честно. В точке $x = 1$ : $y (1) = e - 2 \approx 0.718$ , а наклон $y^{'} (1) = e - 1 \approx 1.718$ . Значение правой части в этой точке: $x + y = 1 + (e - 2) = e - 1$ — совпало с наклоном, поле не обмануло. Отдельная красота при $C = 0$ : прямая $y = - x - 1$ — это изоклина $c = - 1$ , и её собственный наклон $- 1$ равен наклону поля на ней, так что прямая сама является решением.

Метод изоклин — тема урока основы ДУ первого порядка; поле направлений вживую крутится в уроке разделяющиеся переменные — там интерактив рисует штрихи для $y^{'} = f (x, y)$ и проводит траекторию по клику; численный обход поля — урок метод Эйлера. Словарь: дифференциальное уравнение, производная — сам наклон, касательная — то, чем решения касаются штрихов, интеграл — откуда название «интегральные кривые».

Как отвечают через изоклины, когда решения нет

Алгоритм: выбрать

c = - 2, - 1, 0, 1, 2

, начертить кривые

f (x, y) = c

, на каждой провести штрихи с наклоном

c

, затем провести кривые, касающиеся штрихов. Главная ловушка: изоклина — не решение. Решение в каждой своей точке касательно штриху поля, а изоклина лишь собирает точки с равными штрихами. Исключение — изоклина-прямая, чей наклон совпадает с

c

на ней: как

y = - x - 1

выше, тогда она и впрямь интегральная кривая.

Частые вопросы

Чем изоклина отличается от интегральной кривой?

Изоклина — множество точек с равным наклоном поля, интегральная кривая — конкретное решение, касающееся поля в каждой своей точке. Они пересекаются под углом: интегральная кривая пересекает изоклину, имея в точке пересечения наклон $c$ , а не наклон самой изоклины.

Зачем нужна нуль-изоклина?

На ней $y^{'} = 0$ — решения имеют горизонтальные касательные, поэтому кривые решений локально ведут себя как вершины холмов и впадины. Для $y^{'} = x + y$ нуль-изоклина $x + y = 0$ подсказывает, где решения разворачивают тангенс, а сравнение наклона самой прямой $(- 1)$ с нулевым полем показывает, что решением она не будет.