Задание 15 ЕГЭ по математике (профиль): неравенства — разбор с примерами

Пятнадцатый номер — неравенство второй части: логарифмическое, показательное или их комбинация. Два первичных балла: за верное решение с обоснованным переходом и за верный ответ. В отличие от уравнений здесь нельзя просто «подставить и проверить» — промежуток не проверяется подстановкой, поэтому вся ставка на законные переходы и ОДЗ.

База — свойства из шпаргалки логарифмов и степеней, полный арсенал методов — в гайде как решать неравенства и на тренажёре неравенств. Здесь — три рабочих инструмента: монотонность основания, метод интервалов и рационализация.

Ловушки пятнадцатого номера#

• Основание меньше единицы: логарифм и показательная функция убывают, и знак неравенства переворачивается. Забытый разворот — самая дорогая ошибка номера.
• ОДЗ обязательно: аргумент логарифма строго положителен на всём решении, а не только в проверяемой точке. Пересечение с ОДЗ — финальный шаг, не факультатив.
• Умножение обеих частей на выражение с переменной: знак выражения неизвестен, значит так делать нельзя. Переносите всё влево и раскладывайте на множители.
• Строгие и нестрогие границы: ноль множителя даёт выколотую точку при строгом неравенстве и закрашенную при нестрогом. В ответе — круглые или квадратные скобки соответственно.
• Рационализация работает только на ОДЗ: знак разности ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ совпадает со знаком произведения $(a-1)(f-g)$ при $f,g>0$, $a>0$, $a\ne 1$ — иначе переход незаконен.

Алгоритм решения#

1. 1
   Выпишите ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, основания удовлетворяют $a>0$, $a\ne 1$, знаменатели не ноль.
2. 2
   Приведите к одному основанию или одной показательной функции. Смешанные основания 2 и 8 сводятся к двойке.
3. 3
   Определите характер основания: больше единицы — знак сохраняется, меньше — переворачивается. Проговорите это в решении явно.
4. 4
   Сведите к виду «дробь или произведение сравнивается с нулём» и примените метод интервалов: корни на оси, знаки, выбор промежутков.
5. 5
   Пересеките результат с ОДЗ — это и есть ответ.
6. 6
   Проверьте ответ точками: одна из промежутка должна удовлетворять исходному неравенству, одна из отброшенного — нарушать.

Пример 1. Показательное неравенство#

Условие: решите неравенство $2^{x^2+2x}\le 8$. Приводим к одному основанию: $8=2^3$, основание $2>1$ — монотонность возрастающая, знак сохраняется:

Ответ: $x\in [-3;1]$. ОДЗ здесь не добавляет ограничений — показательная функция определена всюду, и вся аккуратность уходит на знак: при основании меньше единицы (например, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2+2x}\le 8$) ответ был бы внешним промежутком $(-\infty ;-3]\cup [1;+\infty )$. Меняете основание — переворачиваете знак.

Пример 2. Логарифмическое неравенство с пересечением ОДЗ#

Условие: решите неравенство ${\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)\le 3$. Полный разбор — в интерактиве выше; ключевая развилка — пересечение:

Метод рационализации здесь избыточен — неравенство сводится напрямую. Он включается, когда основание логарифма само содержит $x$: например, ${\log }_{x+2}(x^2-1)\ge 0$ разбивается на два случая, а рационализация сворачивает их в одну дробь $\frac{(x+1)(x^2-2)}{x+2}\ge 0$ на ОДЗ. Приём экономит страницу решения, но требует ОДЗ железно — без него переход незаконен.

Чек-лист самопроверки#

• ОДЗ выписано до преобразований и пересечено с результатом в финале.
• Характер основания проговорён: больше единицы или меньше, знак сохраняется или разворачивается.
• Всё перенесено влево, разложено на множители, знаки сняты методом интервалов.
• Границы проверены на выколотость: строгие и нестрогие неравенства различены.
• Ответ проверен контрольной точкой из промежутка и точкой снаружи.

Самый тяжёлый номер КИМ — параметр: задание 18 с графическим и аналитическим подходами. Метод интервалов до автоматизма — на тренажёре неравенств.

Разбор второй задачи уровня реального экзамена: убывающее основание#

Условие: решите неравенство ${\log }_{1/2}(x^2-3x)\ge -2$. Здесь работают сразу две классические ловушки — ОДЗ и убывающее основание. Сначала ОДЗ: аргумент строго положителен, $x^2-3x>0$, то есть $x<0$ или $x>3$. Затем характер основания: $\frac{1}{2}$ меньше единицы, логарифмическая функция убывает, и при потенцировании знак обязан развернуться: $x^2-3x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$.

Квадратное неравенство решается устно: $x^2-3x-4\le 0$, корни $-1$ и $4$, ветви параболы вверх — решение $[-1;4]$. Пересечение с ОДЗ даёт ответ $[-1;0)\cup (3;4]$: минус единица и четвёрка входят — неравенство нестрогое, и в обеих точках аргумент равен четырём, логарифм равен $-2$; ноль и тройка выколоты ОДЗ. Контроль занимает полминуты: в точке $x=-1$ получается ${\log }_{1/2}4=-2$ — равенство, точка принадлежит ответу; в точке $x=5$ аргумент равен $10$, логарифм примерно $-3,3$ — меньше $-2$, точка снаружи. Всё сходится.

Контрольные точки выбирайте с умом: по одной из каждого куска ответа, одну границу и одну точку рядом с границей ОДЗ. В нашем примере это $x=-1$ и $x=4$ (обе границы), $x=-2$ и $x=5$ (снаружи слева и справа), плюс любая точка между нулём и тройкой — там неравенство нарушает само ОДЗ. Такой пятиточечный прогон занимает полминуты и ловит три самые дорогие ошибки номера: потерянный разворот знака, забытую выколотость и пересечение с ОДЗ «на глазок».

Числовую прямую не отменяйте даже при устном квадратном неравенстве: отметьте корни $-1$ и $4$, заштрихуйте промежуток между ними, выколотые ноль и тройку обозначьте пустыми кружками. Картина знаков подсказывает и форму ответа: два раздельных куска — верный сигнал, что где-то работало ОДЗ, а не только парабола. В логарифмических неравенствах ответ почти всегда «рваный», и сплошной промежуток в ответе — повод насторожиться и перепроверить пересечение.