Задание 16 ЕГЭ по математике (профиль): планиметрия — разбор с примерами

Шестнадцатый номер — планиметрическая задача второй части и последний рубеж геометрии: трапеция или треугольник с окружностью, в пункте а) — доказать свойство или отношение, в пункте б) — вычислить величину. Два первичных балла. Здесь не хватает одной формулы: нужна связная цепочка из трёх-четырёх фактов, и именно поэтому задача считается одной из самых дорогих по подготовке — и одной из самых благодарных, когда техника собрана.

Техническая база — это решение треугольников: теоремы синусов и косинусов, площади и радиусы вписанной и описанной окружностей. Планиметрия первой части — в задании 1, стереометрический сосед по второй части — в задании 14.

Формулы-инструменты#

Свойства, которые дают пункт а)#

• Четырёхугольник описан около окружности тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: $a+c=b+d$.
• Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна $180°$.
• Трапеция вписывается в окружность только равнобокая — и наоборот: равнобокая трапеция всегда вписана в окружность.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: центр описанной окружности сидит на середине гипотенузы.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Алгоритм решения#

1. 1
   Начертите рисунок крупно и честно: перепутанная на кривом чертеже равнобокая трапеция сбивает всю цепочку рассуждений.
2. 2
   Нанесите на чертёж все данные: длины, углы, точки касания, центры окружностей.
3. 3
   Для пункта а) постройте цепочку из двух-трёх фактов из списка выше и запишите её словами: каждое звено — ссылка на свойство.
4. 4
   Для пункта б) выберите треугольник с искомой величиной и подключите формулы из таблицы.
5. 5
   Проверьте ответ на правдоподобность: радиус вписанной меньше половины меньшей стороны, косинус по модулю не больше единицы.

Пример 1. Равнобокая трапеция#

Условие: основания равнобокой трапеции равны 4 и 10, боковая сторона равна 5. Найдите высоту трапеции. Равнобокость здесь не украшение, а рабочий факт: опустим две высоты к большему основанию — они отрезают от него два равных отрезка:

Ответ: 4. Заодно бесплатный бонус: $\cos \angle A=\frac{3}{5}=0,6$ — угол при большем основании. Один пифагоров треугольник отдал и высоту, и тригонометрию. А доказательство «трапеция вписана в окружность — значит, равнобокая» — это типичный пункт а), вынесенный в отдельный вопрос.

Пример 2. Треугольник 13–14–15 — по шагам#

Условие: стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус вписанной окружности. Разбор по шагам:

Пример 3. Медиана к гипотенузе#

Условие: в прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе. Пункт а) здесь — обоснование: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, значит медиана к гипотенузе — радиус этой окружности:

Ответ: 5. Это свойство — один из самых частых инструментов пункта а): через него доказывают равенства отрезков и прямые углы, опирающиеся на диаметр. Запомните пару с «описанной окружностью прямоугольника» — обе дают центр на середине гипотенузы.

Что делать, если путь не виден#

Самая частая ситуация в задании 16 — «нарисовал и стою». Рабочий приём: выпишите рядом все величины, которые можно посчитать уже сейчас, даже если они не похожи на ответ. В трапеции это высота, угол при основании, диагональ; в треугольнике с окружностью — полупериметр, площадь, оба радиуса. Пункт б) почти всегда живёт в треугольнике, где уже известны две величины, — ваша задача лишь найти его. Если треугольника нет, проведите его сами: высоту, радиус в точку касания, отрезок к центру — три стандартные линии, которые создают прямоугольные треугольники почти в любой фигуре.

Чек-лист самопроверки#

• Чертёж согласован с условием: равнобокая трапеция нарисована равнобокой.
• Пункт а) — цепочка свойств, а не картинка и не «очевидно».
• В пункте б) выписан треугольник, из которого считается ответ.
• Формулы площади и радиусов применены к нужному треугольнику.
• Радиус вписанной и радиус описанной не перепутаны.
• Ответ проверен на правдоподобность и отвечает на вопрос.

Двигайтесь по геометрии второй части: первая стереометрическая задача — в задании 14, планиметрия первой части — в задании 1, треугольная техника — в термине решение треугольников.

Факты про окружности, которые решают задачу#

В планиметрии второго блока банк сюжетов плотно держится на окружности, и три факта работают чаще остальных. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной — из этого мгновенно получаются прямоугольные треугольники и теорема Пифагора для расстояний. Отрезки касательных из одной точки равны — на этом держатся все задачи про описанные четырёхугольники: в трапеции суммы противоположных сторон равны, и периметр восстанавливается из двух известных сторон. Наконец, вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге, а опирающийся на диаметр — прямой. Комбинация этих трёх предложений закрывает добрую половину банковских задач: сначала достройте касательные и радиусы, затем ищите равные отрезки, и только потом считайте углы. Против порядка «считать углы сразу» работают почти все ловушки этих задач.

Стратегия счёта: от чего отталкиваться#

Планиметрическая задача второй части почти всегда собирается из цепочки из трёх-четырёх элементарных шагов, и главный навык — выбрать первый из них. Практическое правило: начинайте с той величины, которую можно выразить сразу по условию — сторона из отношения, угол из суммы углов треугольника, радиус из перпендикулярности к касательной. Дальше спрашивайте себя, что новое знание разблокирует: сторона с углом открывают теорему синусов, две стороны с углом между ними — косинусов и площадь, два радиуса и хорда — прямоугольный треугольник с центром. Записывайте каждый шаг отдельной строкой с обоснованием справа: «по теореме синусов», «как вертикальные», «из подобия по двум углам». Такая разметка не только спасает балл при проверке, но и помогает найти пропущенный шаг, если цепочка вдруг не складывается.