Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль): экономические задачи — разбор с примерами

Семнадцатый номер — самая практичная задача второй части: кредит с процентами, вклад или оптимизация платежей. Два первичных балла. Вся задача держится на одной операции: долг в конце года умножается на множитель $k=1+\frac{r}{100}$, затем вычитается платёж. Кто аккуратно ведёт эту таблицу по годам, тот доводит задачу до уравнения — а уравнение там всегда разрешимое: квадратное или сумма прогрессии.

Две главные схемы различаются поведением долга. Аннуитет: платёж одинаков, долг гасится неравномерно — сначала почти одни проценты. Дифференцированные (равномерные) платежи: долг падает на равную долю $d=\frac{S}{n}$, платежи убывают от года к году — это арифметическая прогрессия, и её сумма даёт ответ без циклов. Квадратные уравнения здесь встречаются постоянно — освежите термин.

Две схемы кредита#

Ловушки семнадцатого номера#

• Ставка — это не множитель: рост на 15% означает умножение на $1,15$, а не на $0,15$ и не на $15$.
• В аннуитете проценты начисляются на текущий долг, поэтому первый год самый «процентный»; считать переплату как $r\cdot S\cdot n$ — ошибка.
• При равномерном долге платежи разные: первый — $d+rS$, последний — $d+\frac{rS}{n}$; путать их с одинаковым аннуитетом нельзя.
• Ответ — конкретная величина: сумма кредита, ставка в процентах, срок или переплата. Доводите решение до числа, которое спрашивают.
• Посторонние корни: отрицательная ставка или сумма отбрасываются с объяснением, а не молча.
• Единицы: суммы бывают в рублях и в тысячах; потерянный «миллион» в строке таблицы меняет ответ на порядок.

Алгоритм решения#

1. 1
   Определите схему: аннуитет (равный платёж) или равномерное уменьшение долга — от этого зависит модель.
2. 2
   Впишите множитель $k=1+\frac{r}{100}$ и составьте таблицу по годам: долг до платежа, платёж, остаток.
3. 3
   Переведите финальную строку таблицы в уравнение: для двух лет это $S{k}^2-Xk-X=0$; для равномерного долга — сумма прогрессии процентов.
4. 4
   Решите уравнение, отбросьте посторонние корни с обоснованием.
5. 5
   Перечитайте вопрос: просят сумму, ставку, срок или переплату — и запишите ответ в нужных единицах.

Пример 1. Аннуитет на два года#

Условие: в июле взят кредит на два года под 10% годовых. Каждый год долг увеличивается на 10%, а затем вносится одинаковый платёж $X=2420000$ рублей; после второго платежа кредит закрыт. Найдите сумму кредита. Модель двух лет:

Ответ: 4 200 000 рублей. Проверка таблицей: после первого года долг $4200000\cdot 1,1-2420000=2200000$; после второго $2200000\cdot 1,1-2420000=0$ — кредит закрыт ровно, без хвостов. Обратные задачи этого типа («даны суммы, найдите ставку») решаются тем же уравнением, но относительно $k$.

Пример 2. Дифференцированные платежи — по шагам#

Условие: кредит на 4 200 000 рублей взят на три года под 10% годовых, долг должен уменьшаться равномерно на одну и ту же величину. Найдите сумму всех выплат. Сначала посчитайте сами, потом открывайте шаги:

Пример 3. Переплата без таблицы#

Переплату из примера 2 можно получить формулой, не выписывая годы: проценты каждого года — это $r$ от остатка долга, а остатки образуют убывающую последовательность $S$, $S-d$, $S-2d$, $\dots$, $d$:

Ответ совпал: 840 000 рублей. Формула $\frac{rS(n+1)}{2}$ — быстрая проверка для любой задачи с равномерным долгом. Для сравнения: аннуитет на те же сумму, срок и ставку дал бы переплату около 867 тысяч — долг гасится медленнее, и проценты «дороже». Именно поэтому банки любят равный платёж, а задача про это различие и спрашивает.

Чек-лист самопроверки#

• Схема определена: аннуитет или равномерное уменьшение долга.
• Множитель $k$ посчитан из ставки верно.
• Таблица или формула объясняет, что происходит с долгом каждый год.
• Уравнение решено, посторонние корни отброшены.
• Финальный остаток долга равен нулю или требуемой величине.
• Ответ — та величина, которую спрашивали, в нужных единицах.

Соседние практические сюжеты: задание 10 — движение и работа первой части, задание 5 — сложная вероятность. Прогрессии для равномерного долга — в шпаргалке.

Таблица платежей: дифференцированная схема на три года#

Слово «дифференцированные» означает ровно то, что долг дифференцируется — делится на равные части, а платежи получаются разными. Разберём схему до конца, с полной таблицей. Условие: кредит 1 200 000 рублей взят на три года под 10% годовых, долг уменьшается на одну и ту же величину. Ежегодная доля долга равна $d=\frac{1200000}{3}=400000$ рублей, и платёж каждого года складывается из этой доли и процентов, набежавших на текущий остаток. Ключевое наблюдение: остаток перед начислением процентов падает ежегодно на 400 000, поэтому и проценты падают на одну и ту же сумму — $0,1\cdot 400000=40000$ рублей в год. Именно отсюда вырастает арифметическая прогрессия, которую мы использовали в формуле переплаты.

Читаем таблицу по столбцам. Сумма выплат складывается из трёх платежей: $520000+480000+440000=1440000$ рублей. Переплата — разность между выплатами и телом кредита: $1440000-1200000=240000$ рублей; она же собирается из столбца процентов: $120000+80000+40000=240000$. Контроль формулой: $\frac{0,1\cdot 1200000\cdot 4}{2}=240000$ — сошлось. Обратите внимание на шаг: каждый следующий платёж меньше предыдущего ровно на 40 000 рублей — это мгновенная проверка всего столбца платежей. Если же задача спрашивает выплату за конкретный год, ответ берётся прямо из таблицы, без всякого уравнения.