Задание 1 ЕГЭ по математике (профиль): планиметрия — разбор с примерами

Открывает КИМ самая привычная геометрия: треугольник, трапеция, параллелограмм или окружность с готовым рисунком в условии. Одно действие — один ответ. Первичный балл ровно один, и это самый дешёвый балл всего экзамена: на него у подготовленного одиннадцатиклассника уходит полторы-две минуты. Проходной порог вузов Минобрнауки — 27 тестовых баллов, и геометрическое начало первой части напрямую участвует в их наборе.

Данные в условии всегда достаточные, лишнего почти не бывает. Если решение не складывается за две минуты — значит, вы что-то не отметили на рисунке: чаще всего это угол из теоремы о сумме углов, вертикальный угол или общий элемент двух фигур. Табличные значения синуса и косинуса нужны здесь постоянно, поэтому освежите шпаргалку тригонометрических формул до того, как пойдёте решать на скорость.

Что проверяет задание и где прячутся ловушки#

Банк ФИПИ для первого номера крутится вокруг пяти сюжетов: углы и площади треугольника, теоремы косинусов и синусов, средняя линия и подобие, четырёхугольники (трапеция, ромб, параллелограмм), вписанные и описанные окружности. Ловушки при этом повторяются из года в год, и все они аккуратные, а не хитрые:

• Перепутали градусы с радианами: $\sin 30^{\circ }=0,5$, но $\sin 30$ радиан — совсем другое число. В условиях первой части углы даны в градусах.
• Площадь посчитали по соседним сторонам, а угол взяли между несоседними. Формула $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$ требует угол именно между $a$ и $b$.
• В трапеции опустили высоту не от того конца основания и вычли основания «врозь»: меньшее основание даёт отрезок $(a-b)/2$ с каждой стороны, а не целиком.
• Забыли, что вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу, — любимая пара углов в заданиях с окружностью.
• Ответ округлили там, где округление не просили: если в бланк нужно целое, проверьте, что оно получилось само, а не после «примерно равно».

Алгоритм: шесть шагов от условия до ответа#

1. 1
   Перечертите рисунок крупно — мелкий рисунок прячет нужный угол и провоцирует ошибку на глаз.
2. 2
   Отметьте на рисунке каждое число из условия и каждую величину, которую просят найти. Слово «найдите» переведите в конкретный отрезок или угол.
3. 3
   Допишите на рисунке то, что следует автоматически: сумму углов треугольника, вертикальные углы, высоту в трапеции, радиус в точку касания.
4. 4
   Выберите одну формулу, которая связывает известное с искомым. Для площадей — таблица: треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб.
5. 5
   Подставьте и посчитайте аккуратно: калькулятора на экзамене нет, но все числа первой части подобраны под устный счёт и короткие умножения.
6. 6
   Проверьте ответ на реалистичность: высота не может быть длиннее боковой стороны, угол — больше $180^{\circ }$, площадь — отрицательной.

Пример 1. Площадь треугольника по двум сторонам и углу#

Условие реального уровня: стороны треугольника равны 10 и 14, угол между ними $30^{\circ }$. Найдите площадь. Формула площади по двум сторонам и синусу угла между ними — единственный инструмент, который здесь нужен:

Три множителя — один ответ: 35. Ошибаются здесь единственным способом: берут синус $60^{\circ }$ (соседнего угла, достроенного до суммы $90^{\circ }$) или умножают на $\sin 30$ в радианах. Обе ошибки ловятся одной привычкой: перед подстановкой выпишите, какой именно угол стоит в формуле.

Пример 2. Трапеция: высота через боковую сторону#

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12, боковая сторона равна 5. Найдите высоту. Ключевой ход — опустить две высоты: равнобедренность делит большее основание на три части, крайние равны, средняя совпадает с меньшим основанием.

Каждая высота отсекает прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 (боковая сторона) и горизонтальным катетом 3. По теореме Пифагора вертикальный катет — высота трапеции — равен 4. Пифагорова тройка 3–4–5 встречается в первой части постоянно: увидели 5 и 3 — ждите 4.

Задание с окружностью строится так же: вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; угол между касательной и хордой — половине дуги внутри. Меняйте только формулу, порядок шагов неизменен: рисунок → отметки → одна формула → счёт.

Чек-лист самопроверки#

• Рисунок перечерчен крупно, все числа из условия на нём отмечены.
• Каждый угол выражен в градусах, табличный синус взят по таблице, а не по памяти «на глаз».
• В формуле площади угол лежит именно между выбранными сторонами.
• В трапеции посчитан отрезок $(a-b)/2$, а не разность целиком.
• В задаче с окружностью различены вписанный и центральный углы.
• Ответ прошёл проверку на реалистичность и перечитан вопрос: что именно спрашивали.

Следующий шаг — задание 2 про векторы: разбор задания 2 с координатами и скалярным произведением. Тригонометрию для углов подтяните на тренажёре тригонометрии, а координатный взгляд на фигуры — в уроке прямая на плоскости.

Ещё одна задача: вписанная окружность#

Треугольник со сторонами 13, 14 и 15, в него вписана окружность — найдите радиус. Ключ к сюжету — формула радиуса через площадь и полупериметр: $r=\frac{S}{p}$. Полупериметр равен $(13+14+15)/2=21$, а площадь по формуле Герона составляет $\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$ — все множители под корнем складываются в точный квадрат, это фирменный почерк первой части. Деление даёт $r=84/21=4$. Обратите внимание на порядок действий: сначала площадь, потом деление, и только в конце ответ в бланк. Если хотите проверить себя по-другому, посчитайте высоту к стороне 14: она равна $2S/14=12$, и это ровно $2r$ — совпадение не случайное, для разностороннего треугольника высота к средней стороне близка к удвоенному радиусу.