Задание 2 ЕГЭ по математике (профиль): векторы — разбор с примерами

Второй номер первой части целиком живёт в координатах. Дают два вектора с координатами и просят одно: длину, скалярное произведение, косинус угла или координаты суммы/разности. Формул три, счёт — два действия. Один первичный балл, две минуты работы — по соотношению «время за балл» это лучшее задание КИМ.

Полная теория с выводами живёт в уроке скалярное произведение векторов и курсе векторное и смешанное произведение; здесь — экзаменационная выжимка. Три формулы закрывают все сюжеты задания:

Скалярное произведение — это «произведение длин на косинус угла», записанное через координаты. Косинус угла выходит из приравнивания двух определений — вывод есть в шпаргалке векторной алгебры. Термин вектор с картинками поможет тем, кто подзабыл геометрический смысл.

Подводные камни задания 2#

Сюжеты простые, но банк ФИПИ собирает с них свою долю пустых бланков. Причины повторяются:

• Знак скалярного произведения: при тупом угле оно отрицательное, и минус в ответе — не ошибка, а свойство. Коснувшись знака «на всякий случай», теряют верный ответ.
• Вычитание векторов: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ — «конец минус начало». Перепутали порядок — получили вектор, торчащий в другую сторону.
• Длина против квадрата длины: $|\vec{a}{|}^2=25$ означает $|\vec{a}|=5$. В бланк идёт то, что спрашивают — иногда просят именно квадрат длины.
• Угол между векторами берётся по модулю косинуса только в треугольных задачах; здесь угол между векторами не превышает $180^{\circ }$, и знак косинуса честно указывает его вид.
• Сумма с коэффициентом: $2\vec{a}-3\vec{b}$ считается покоординатно — умножили обе координаты каждого вектора, потом сложили.

Алгоритм решения#

1. 1
   Выпишите координаты обоих векторов столбиком — путаница координат даёт половину ошибок.
2. 2
   Определите, что спрашивают: длина, произведение, косинус или координаты операции. Под формулу подставляйте сразу.
3. 3
   Для косинуса угла считайте три числа: произведение, две длины — потом делите. Не сокращайте в уме.
4. 4
   Сверьте ответ со здравым смыслом: длина неотрицательна, косинус лежит от $-1$ до $1$, для перпендикулярных векторов произведение равно нулю.

Пример 1. Скалярное произведение и длины#

Даны векторы $\vec{a}(3;4)$ и $\vec{b}(1;-2)$. Найти скалярное произведение и длину вектора $\vec{a}$. Покоординатное умножение и корень из суммы квадратов:

Ответы: $-5$ и $5$. Знак минус говорит: угол между векторами больше $90^{\circ }$. Проверка на глаз: $\vec{a}$ смотрит на северо-восток, $\vec{b}$ — на юго-восток круто вниз, угол между ними действительно тупой.

Пример 2. Угол между векторами#

Условие: векторы $\vec{a}(2;1)$ и $\vec{b}(1;3)$. Найдите угол между ними. Ответ — в градусах. Полный разбор выше в интерактиве; итоговая цепочка:

Сюжет с косинусом требует таблицы значений: $\frac{1}{2}$ — это $60^{\circ }$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это $45^{\circ }$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это $30^{\circ }$. Держите тройку под рукой — она же нужна в заданиях 1 и 13.

Чек-лист самопроверки#

• Координаты выписаны столбиком и в правильном порядке (конец минус начало для разности).
• Знак скалярного произведения осмыслен: минус означает тупой угол.
• Для длины — корень из суммы квадратов, для квадрата длины — без корня.
• Косинус угла проверен на диапазон от $-1$ до $1$.
• В бланк записана та величина, которую просили: длина, квадрат или угол.

Дальше по первой части — стереометрия: разбор задания 3 с объёмами и подобием тел. Теорию с выводами — в уроке скалярное произведение и термине вектор.

Разбор второй задачи уровня реального экзамена: перпендикулярность#

Условие экзаменационного уровня: даны векторы $\vec{a}(3;4)$ и $\vec{b}(-4;3)$, найдите угол между ними в градусах. Первым действием считайте скалярное произведение — нередко оно снимает вопрос целиком: $3\cdot (-4)+4\cdot 3=-12+12=0$. Произведение нулевое, значит косинус угла равен нулю и угол прямой — $90^{\circ }$. Длины для проверки тоже красивые: $|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5$ и $|\vec{b}|=\sqrt{16+9}=5$, обе пятёрки — но делить в итоге не пришлось. Обратите внимание на порядок: сначала произведение, потом длины, и только если произведение не нулевое — деление.

Задача выглядит «на косинус», а решается в одну строку — фирменный приём банка ФИПИ в задании 2. За красивыми числами стоит геометрия: вектор $(-4;3)$ получается из $(3;4)$ поворотом на $90^{\circ }$ по правилу $(x;y)\mapsto (-y;x)$ — координаты меняются местами, один знак становится минусом. Такие пары в реальных вариантах встречаются регулярно, и их полезно узнавать с первого взгляда: увидели «перекинутые» координаты — ждите прямой угол и подтверждайте догадку произведением. Экономия времени ощутимая: вместо трёх вычислений остаётся одно.

Второй сюжет экзаменационного уровня — вектор по двум точкам. Пусть даны точки $A(1;-2)$ и $B(4;2)$: координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ — разность «конец минус начало», то есть $(4-1;2-(-2))=(3;4)$, и длина $\sqrt{9+16}=5$. Связка «точки → вектор → длина» сопровождает примерно половину сюжетов задания: где-то просят длину, где-то квадрат длины, где-то длину суммы с третьим вектором. Механика одна, меняется только финальное действие.

Координаты в задании 2 почти всегда собираются в пифагоровы тройки: векторы $(3;4)$ и $(6;8)$ дают длины $5$ и $10$, вектор $(5;12)$ — длину $13$, вектор $(8;15)$ — длину $17$. Держите тройку 3–4–5 в голове как контрольную: под корнем должно получиться 25, 100, 169 — круглое число. Если под корнем выросло «некрасивое» число вроде 53, сначала перепроверьте арифметику в координатах и лишь потом тащите корень в ответ. Всё это — та же теорема Пифагора, только под корнем стоят квадраты координат.