Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль): стереометрия — разбор с примерами

Третий номер — стереометрия первой части: дают тело с параметром и просят объём, площадь поверхности или изменение объёма при изменении размеров. Рисунок в условии есть, формулы нужны табличные, арифметика — короткая. Один первичный балл; в отличие от заданий 1 и 2 здесь чаще встречаются неформулы, а масштабы: «во сколько раз увеличили» обманывает интуицию каждого третьего сдающего.

Пять формул закрывают банк ФИПИ по этому номеру: призма и цилиндр ($V=Sh$), пирамида и конус ($V=\frac{1}{3}Sh$), шар ($V=\frac{4}{3}\pi r^3$). Площадь поверхности шара — $4\pi r^2$. Каждая работает в обоих направлениях: и «найдите объём», и «найдите высоту, если объём известен». Квадраты и кубы малых чисел стоит проговорить заранее: $13^2=169$, $14^2=196$, $15^2=225$, $2^3=8$, $3^3=27$, $5^3=125$.

Где задание 3 ловит сдающих#

• Линейный масштаб против объёмного: размеры увеличили в 2 раза — объём вырос не вдвое, а в $2^3=8$ раз. Для площади поверхности — в $2^2=4$ раза.
• Радиус и диаметр: в формулу шара и конуса идёт радиус. Дали диаметр 6 — радиус 3, а не 6.
• Пирамидальная треть: $V=\frac{1}{3}Sh$ только для пирамиды и конуса. Призма без трети, конус с третью — перепутать легко, проверить обязательно.
• Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, у цилиндра — прямоугольник: высоту и радиус часто достают именно отсюда, по Пифагору.
• Единицы: сантиметры в кубе против метров в кубе. Если в условии смешаны единицы, приведите к одной до подстановки.

Алгоритм решения#

1. 1
   Определите тело и выпишите его формулу объёма или площади. Одна формула — один шаг, никакой импровизации.
2. 2
   Проверьте, радиус или диаметр дан. Диаметр делите пополам до подстановки.
3. 3
   Если просят изменение объёма — считайте через масштаб: новый объём равен старому, умноженному на $k^3$ для линейного увеличения в $k$ раз.
4. 4
   Если данных не хватает, достаньте их из сечения по Пифагору: осевое сечение конуса, диагональное сечение призмы — стандартные источники высоты.
5. 5
   Посчитайте и прикиньте порядок: объём шара радиуса 3 — порядка сотни, а не миллиона. Абсурд в ответе — сигнал перепроверить степень.

Пример 1. Конус: радиус увеличили вдвое#

Условие: радиус основания конуса равен 6, высота равна 10. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус основания увеличить вдвое, а высоту оставить прежней? Высота в формуле объёма конуса стоит в первой степени, радиус — в квадрате:

Ответ: в 4 раза. Ловушка сработает на том, кто мысленно поставил «в 2 раза»: удвоение радиуса даёт квадрат двойки. Числа 6 и 10 из условия вообще не понадобились — это нормальный приём первой части: изменение объёма считается отношением, без исходного объёма.

Пример 2. Пирамида: объём через высоту#

Условие: сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, апофема (высота боковой грани) равна 5. Найдите объём. Апофема соединяет вершину с серединой стороны — прямоугольный треугольник собирается из высоты пирамиды, апофемы и половины стороны:

С апофемой 5 высота выходит ровно 4, и объём собирается без корней: $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$. Мораль обоих примеров: перед счётом проверьте, какие данные у вас есть — ребро требует половины диагонали ($3\sqrt{2}$), апофема — половины стороны (3). Пифагоровы тройки выбирают так, чтобы один из двух вариантов дал красивое число.

Чек-лист самопроверки#

• Формула соответствует телу: призма без трети, пирамида и конус с третью.
• Радиус получен из диаметра делением пополам.
• Масштаб возведён в нужную степень: длина $k$, площадь $k^2$, объём $k^3$.
• Высота достана по Пифагору из правильного треугольника: апофема — полсторона, ребро — полдиагональ.
• Единицы приведены к одной системе, ответ реалистичен по порядку величины.

Продолжайте по порядку: задание 4 про классическую вероятность — самое лёгкое число КИМ. Объёмный аппарат для второй части собран в уроке прямая и плоскость в пространстве.

Ещё одна задача: отношение объёмов#

Через середину высоты пирамиды проведена плоскость параллельно основанию — найдите объём усечённой пирамиды, если объём исходной равен 96. Плоскость, параллельная основанию, отсекает подобную пирамиду с коэффициентом $k=1/2$ по всем линейным размерам, а объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: маленькая пирамида имеет объём $96\cdot (1/2{)}^3=12$. Значит, на усечённую часть приходится $96-12=84$. Тройка «коэффициент — площадь — объём» ($1/2$, $1/4$, $1/8$) встречается в банке ФИПИ постоянно, поэтому её полезно держать в голове целиком: если сечение втрое выше от вершины, кубический коэффициент будет $(1/3{)}^3=1/27$. Проверка направления обязательна: спрашивают усечённую пирамиду, а не маленькую — вычитание из полного объёма неотменяемо.

Осевые сечения: главный мостик между измерениями#

В задачах с цилиндром и конусом почти всё сводится к осевому сечению. У цилиндра это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$ — из него читаются и площадь осевого сечения, и диагональ, и угол наклона диагонали к основанию. У конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2r$, высотой $h$ и образующей $l$, где $l^2=r^2+h^2$ по Пифагору. Образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник и внутри конуса: сечение через вершину и хорду основания даёт тот же треугольник, но с половиной хорды вместо радиуса — это различие стоит держать на контроле. Стратегия решения: нарисуйте сечение отдельно, крупно, подпишите все известные длины — и стереометрическая задача превращается в плоскую планиметрию, где работают обычные треугольники, синусы и подобие. Объёмы при этом считаются по формулам $V=\pi r^{2}h$ для цилиндра и $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ для конуса, а коэффициент одна треть — характерная ловушка при перепутывании формул.