📈 Матанализ

Таблица значений тригонометрических функций

Q: Что делать с нестандартными углами вроде 15°?

Разложить по формулам: $15° = 45° - 30°$, дальше [формулы сложения](/terminy/formuly-slozheniya-argumentov/) дают $\sin 15° = \tfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$. Калькулятор подтвердит $\approx 0{,}259$. Табличные углы — базис: всё остальное собирается из них суммами, разностями и приведениями.

англ. Table of trigonometric values

Опорные значения синуса, косинуса, тангенса для углов 0, 30°, 45°, 60°, 90°: нули, половина, √2/2, √3/2 и единица — каркас всех вычислений.

Пять углов покрывают почти все школьные вычисления: $0$ , $\frac{π}{6}$ ( $30°$ ), $\frac{π}{4}$ ( $45°$ ), $\frac{π}{3}$ ( $60°$ ), $\frac{π}{2}$ ( $90°$ ). Синус идёт по цепочке $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1$ , косинус — в обратном порядке. Тангенс — их отношение: $0, \frac{3}{3}, 1, 3$ , и разрыв в $\frac{π}{2}$ . Запоминание через «корень из делённого на два»: $sin = \frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ — один шаблон на всю строку.

Таблица расширяется симметриями без зубрёжки: знаки по четвертям, формулы приведения для углов $π \pm t$ и $\frac{π}{2} \pm t$ , периодичность для всего остального. Пример каскада: $sin \frac{5 π}{6} = sin (π - \frac{π}{6}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ ; $cos \frac{7 π}{4} = cos (- \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}$ . В уравнениях таблица отвечает, «табличный» ли корень: $cos x = \frac{3}{2}$ даёт $x = \pm \frac{π}{6} + 2 π n$ мгновенно. Производные и интегралы этих функций — в материале производная синуса и шпаргалке таблица производных.

t sin t cos t 001 \frac{π}{6} \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{π}{4} \frac{2}{2} \frac{2}{2} \frac{π}{3} \frac{3}{2} \frac{1}{2} \frac{π}{2} 10

опорная таблица; тангенс получается делением строк

Частые вопросы

Как вывести √2/2 и √3/2 без таблицы?

Из геометрии: квадрат, разрезанный диагональю, даёт угол $45°$ с катетами $1$ и гипотенузой $2$ — отношения $\frac{2}{2}$ . Равносторонний треугольник со стороной $2$ , разрезанный высотой, даёт $60°$ с катетами $1$ и $3$ , гипотенузой $2$ — отсюда $\frac{3}{2}$ и $\frac{1}{2}$ . Две картинки вместо пяти строк наизусть.

Что делать с нестандартными углами вроде 15°?

Разложить по формулам: $15° = 45° - 30°$ , дальше формулы сложения дают $sin 15° = \frac{6 - 2}{4}$ . Калькулятор подтвердит $\approx 0, 259$ . Табличные углы — базис: всё остальное собирается из них суммами, разностями и приведениями.