📈 Матанализ

Основное тригонометрическое тождество

Q: Почему в ответе cos t = ±0,8 — какой знак брать?

По четверти угла. Само тождество даёт модуль: $\cos^2 t = 0{,}64$. Знак определяется тем, где лежит угол: в первой и четвёртой четвертях косинус положителен, во второй и третьей — отрицателен. Если из условия четверть неизвестна, ответ честно пишется с двумя ветками — $\cos t = \pm 0{,}8$ при соответствующих углах.

Q: Можно ли делить основное тождество на cos²x всегда?

Только там, где косинус не ноль: при $\cos t = 0$ деление теряет смысл, зато само тождество даёт $\sin^2 t = 1$. В преобразованиях уравнения деление на функцию — потеря корней: сначала рассмотрите случай $\cos x = 0$ отдельно, потом делите. Правило то же, что и с любым сокращением на выражение с переменной.

англ. Pythagorean trigonometric identity

sin²t + cos²t = 1 для любого угла t — теорема Пифагора на единичной окружности; из него выводятся 1 + tg² = 1/cos² и 1 + ctg² = 1/sin².

Основное тригонометрическое тождество $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ выполняется при любом угле. Обоснование — теорема Пифагора: точка единичной окружности имеет координаты $(cos t; sin t)$ , её расстояние до центра равно единице, значит сумма квадратов координат равна единице. Тождество связывает квадраты функций и позволяет находить одну по другой с точностью до знака: зная $sin t = 0, 6$ в первой четверти, получаем $cos t = 1 - 0, 36 = 0, 8$ .

Делением тождества на $cos^{2} t$ или $sin^{2} t$ получаются следствия: $1 + tg^{2} t = \frac{1}{c o s ^{2} t}$ и $1 + ctg^{2} t = \frac{1}{s i n ^{2} t}$ . В уравнениях тождество — инструмент сведения к одной функции: замена $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ убирает косинусы и открывает дорогу замене $t = sin x$ — приём описан на странице сведение тригонометрического уравнения к квадратному. Полный набор тождеств — в шпаргалке тригонометрических формул.

sin^{2} t + cos^{2} t = 1; 1 + tg^{2} t = \frac{1}{cos ^{2} t}; 1 + ctg^{2} t = \frac{1}{sin ^{2} t}

основное тождество и два следствия делением на квадрат функции

Частые вопросы

Почему в ответе cos t = ±0,8 — какой знак брать?

По четверти угла. Само тождество даёт модуль: $cos^{2} t = 0, 64$ . Знак определяется тем, где лежит угол: в первой и четвёртой четвертях косинус положителен, во второй и третьей — отрицателен. Если из условия четверть неизвестна, ответ честно пишется с двумя ветками — $cos t = \pm 0, 8$ при соответствующих углах.

Можно ли делить основное тождество на cos²x всегда?

Только там, где косинус не ноль: при $cos t = 0$ деление теряет смысл, зато само тождество даёт $sin^{2} t = 1$ . В преобразованиях уравнения деление на функцию — потеря корней: сначала рассмотрите случай $cos x = 0$ отдельно, потом делите. Правило то же, что и с любым сокращением на выражение с переменной.