Знаки тригонометрических функций

Знаки всех четырёх функций выводятся из знаков координат точки окружности. Синус повторяет знак ординаты: плюс в I и II, минус в III и IV. Косинус — знак абсциссы: плюс в I и IV, минус во II и III. Тангенс и котангенс — отношение: их знак положителен там, где координаты одного знака (I и III), и отрицателен там, где разные (II и IV). Отсюда правило «тангенс дружит с диагональю»: плюс — по главной диагонали окружности, минус — по побочной.

Где знаки решают судьбу решения. Первое: выбор корня из $\pm \sqrt{\dots }$ — в половинном угле и при восстановлении косинуса по синусу: четверть даёт знак, тождество даёт модуль. Второе: контроль серий — уравнение $\cos x=-\frac{1}{2}$ обязано иметь корни во II и III четвертях, и серия $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$ это выполняет: $\frac{2\pi }{3}$ во второй, $-\frac{2\pi }{3}$ эквивалентна $\frac{4\pi }{3}$ в третьей. Третье: формулы приведения — знак итога равен знаку исходной функции в четверти полного угла (см. формулы приведения). Нули и границы четвертей — оси: там одна функция нулевая, другая равна $\pm 1$.