📈 Матанализ

Тригонометрические неравенства

Q: Как решать tg x > 1?

На каждой ветви тангенс возрастает и равен единице в $\tfrac{\pi}{4}$, значит неравенство выполнено справа от этой точки до асимптоты: $x \in \left(\tfrac{\pi}{4} + \pi n;\ \tfrac{\pi}{2} + \pi n\right)$. Обратите внимание: интервал не дотягивается до $\tfrac{\pi}{2}$ — там тангенс не определён, и открытая граница обязательна.

англ. Trigonometric inequalities

Решение sin x > a и cos x ≤ b через графики: дуги окружности или полосы на синусоиде, ответ — объединение интервалов с шагом периода.

Неравенство $sin x > a$ спрашивает: где ордината окружности больше $a$ ? Ответ — дуга между двумя точками пересечения с прямой $y = a$ , повторённая с периодом $2 π$ . Пример: $sin x > \frac{1}{2}$ даёт $x \in (\frac{π}{6} + 2 π n; \frac{5 π}{6} + 2 π n)$ — открытая дуга верхней части. Для $cos x \leq \frac{1}{2}$ — дуги, где абсцисса не превышает половину: $x \in [\frac{π}{3} + 2 π n; \frac{5 π}{3} + 2 π n]$ — левая часть окружности вместе с границами.

Два надёжных способа. Окружность: отметить точки решения уравнения-границы, взять нужную дугу против часовой стрелки, выписать интервал с периодом. Синусоида: провести горизонталь и выписать интервалы над/под ней. Смешанные неравенства сводятся: $2 sin^{2} x - sin x \leq 0$ — замена $t = sin x$ даёт $t (2 t - 1) \leq 0$ , то есть $0 \leq sin x \leq \frac{1}{2}$ , и ответ — пересечение дуг: $x \in [2 π n; \frac{π}{6} + 2 π n] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 π n; π + 2 π n]$ . Квадратные неравенства по $t$ решает метод интервалов, серии корней — материал простейших уравнений.

sin x > a \Rightarrow x \in (arcsin a + 2 π n; π - arcsin a + 2 π n); cos x \leq b \Rightarrow левые дуги

шаблон ответа для синуса и схема для косинуса

Частые вопросы

Почему в ответе неравенства интервал, а не серия?

Потому что неравенство выполняется на целом промежутке углов, а не в отдельных точках: между двумя точками пересечения с горизонтом волна целиком выше (или ниже) порога. Серия с параметром описывает дискретные корни уравнения; неравенству отвечает объединение интервалов с шагом периода.

Как решать tg x > 1?

На каждой ветви тангенс возрастает и равен единице в $\frac{π}{4}$ , значит неравенство выполнено справа от этой точки до асимптоты: $x \in (\frac{π}{4} + π n; \frac{π}{2} + π n)$ . Обратите внимание: интервал не дотягивается до $\frac{π}{2}$ — там тангенс не определён, и открытая граница обязательна.