Серия корней тригонометрического уравнения

Тригонометрическое уравнение имеет бесконечно много корней — они повторяются с периодом, и все сразу записываются серией — формулой с целым параметром. Для $\sin x=a$: $x=(-1{)}^k\arcsin a+\pi k$; множитель $(-1{)}^k$ переключает между двумя точками окружности, слагаемое $\pi k$ шагает по пол-оборота. Для $\cos x=a$: $x=\pm \arccos a+2\pi n$ — симметричная пара с полным оборотом. Для $\mathrm{tg}x=a$ серия одна: $x=\mathrm{arctg}a+\pi k$.

Проверка серии занимает две подстановки. Для $\sin x=\frac{1}{2}$ серия $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$: при $k=0$ угол $\frac{\pi }{6}$, синус $\frac{1}{2}$ — верно; при $k=1$ угол $-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}$, синус тоже $\frac{1}{2}$ — обе ветки живы. Эквивалентная запись двумя сериями — $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ — задаёт то же множество; на экзамене принимается любая корректная форма. Полная таблица серий и частные случаи для нуля и единицы — на странице простейшие тригонометрические уравнения; отбор корней из серии — в термине отбор корней на отрезке.