Линейные пространства: аксиомы, базис и размерность простыми словами

Слово «вектор» у первокурсника прочно срослось со стрелочкой. А теперь фокус: квадратная матрица $2\times 2$ — тоже вектор. Многочлен $x^2+3x-2$ — тоже вектор. Звуковой фрагмент длиной в секунду — и он. Все эти объекты можно складывать и умножать на число, и законы у этих операций одни и те же. Когда математики заметили это, они перестали доказывать одно и то же сто раз и описали правила один раз — для линейного пространства.

Восемь аксиом: контракт, подписанный операциями#

Линейное (его же называют векторным) пространство — это множество $V$ вместе с двумя операциями: сложением элементов и умножением на число. Операции обязаны подчиняться восьми правилам. Звучит как бюрократия, но каждое правило — то, чем вы годами пользовались, не задумываясь:

• $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ — от перестановки слагаемых сумма не меняется
• $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ — скобки не важны
• существует нулевой элемент $\vec{0}$: $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$
• для каждого $\vec{u}$ есть противоположный $(-\vec{u})$: $\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$
• $\alpha (\vec{u}+\vec{v})=\alpha \vec{u}+\alpha \vec{v}$ — раскрытие скобок при умножении на число
• $(\alpha +\beta )\vec{u}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{u}$ — то же с другой стороны
• $(\alpha \beta )\vec{u}=\alpha (\beta \vec{u})$ — множители группируются
• $1\cdot \vec{u}=\vec{u}$ — единица ничего не портит

Проверим контракт на матрицах размера $2\times 2$: складываются поэлементно, умножаются на число поэлементно, нулевая матрица играет роль $\vec{0}$, противоположная — это матрица с переменой знаков. Все восемь пунктов выполняются — значит, множество матриц с этими операциями линейное пространство. То же с многочленами степени не выше $n$: сумма многочленов — многочлен той же верхней степени, нулевой многочлен на месте. А вот функции, непрерывные на отрезке, — тоже линейное пространство: сумма непрерывных непрерывна, нулевая функция непрерывна. Красота подхода в том, что теоремы доказываются один раз и работают для всего списка сразу.

Линейная зависимость: когда один вектор — лишний#

Векторы ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_k$ называются линейно зависимыми, если найдутся числа $c_1,\dots ,c_k$, не все нулевые, с равенством $c_1{\vec{a}}_1+c_2{\vec{a}}_2+\cdots +c_k{\vec{a}}_k=\vec{0}$. Если же такое равенство возможно только при всех $c_i=0$ — векторы линейно независимы. Перевод на бытовой: зависимость означает, что один из векторов выражается через остальные, он не добавляет новой информации.

Пример в одну строку: векторы $(1,2)$ и $(2,4)$ зависимы, потому что $2\cdot (1,2)-1\cdot (2,4)=(0,0)$. Второй — просто растянутый первый, глядят в одну сторону. А вот пара $(1,0)$ и $(0,1)$ независима: $c_1(1,0)+c_2(0,1)=(c_1,c_2)=(0,0)$ заставляет оба коэффициента обнулиться.

Полезные следствия держат в голове как таблицу умножения. Любые два коллинеарных вектора зависимы; любые три вектора в ${\mathbb{R}}^2$ зависимы — больше векторов, чем координат, значит кто-то лишний. Вообще, в $n$-мерном пространстве любая система из большего числа векторов, чем размерность, автоматически зависима. Обратного «автомата» нет: система из $n$ векторов в ${\mathbb{R}}^n$ может оказаться и зависимой — определитель тогда нулевой.

1. 1
   Система: $x_1+x_2-x_3=0$ и $x_1-2x_2+x_3=0$. Это пространство решений — подпространство ${\mathbb{R}}^3$, ищем его базис.
2. 2
   Гаусс: вычитаем первое уравнение из второго: $-3x_2+2x_3=0$, значит $x_2=\frac{2}{3}{x}_3$.
3. 3
   Из первого: $x_1=-x_2+x_3=\frac{1}{3}{x}_3$. Ранг матрицы равен $2$, неизвестных три, размерность $3-2=1$ — формула из врезки ниже.
4. 4
   При $x_3=3$ (чтобы уйти от дробей) получаем вектор $(1,2,3)$ — это и есть базис, фундаментальная система решений из одного вектора.
5. 5
   Проверка: $1+2-3=0$ и $1-4+3=0$ — оба уравнения обращаются в тождество. Все решения — прямая $t(1,2,3)$ в ${\mathbb{R}}^3$: одномерное подпространство.

Базис: минимальный набор для адресации#

Базис — это линейно независимая система векторов, через которую раскладывается любой элемент пространства: для каждого $\vec{v}$ существуют числа $v_1,\dots ,v_n$ с равенством $\vec{v}=v_1{\vec{e}}_1+\cdots +v_n{\vec{e}}_n$. Числа $v_1,\dots ,v_n$ называются координатами вектора в данном базисе. Размерность пространства — это число векторов базиса; можно доказать, что у одного пространства любые два базиса одинаковы по длине, поэтому определение корректно.

Стандартный базис в ${\mathbb{R}}^3$ — это $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, и координаты там совпадают с самими числами вектора. Но базисов много, и в другом базисе тот же вектор получит другие координаты: это как почтовый адрес, записанный в разных системах — дом тот же, строки другие. Возьмём пространство многочленов степени не выше $2$: базис из $1,x,x^2$, размерность $3$, а многочлен $x^2+3x-2$ имеет координаты $(-2,3,1)$ — по столбикам при базисных функциях.

С размерностью стоит набить руку на примерах — они любят появляться в тестах:

Подпространства: миры внутри мира#

Подпространство — подмножество, само являющееся линейным пространством с теми же операциями. Достаточно проверить замкнутость: для любых элементов сумма снова внутри, умножение на любое число — тоже внутри (остальные аксиомы наследуются автоматически). Три любимых примера курса: множество решений однородной системы (неоднородной — не подпространство, сумма двух решений нарушит правую часть), линейная оболочка любого набора векторов, множество матриц с равными нулю следом.

Разберём оболочку числом: векторы $(1,1,0)$ и $(0,1,1)$ порождают множество всех $(c_1,c_1+c_2,c_2)$. Лежит ли $(2,3,1)$ в этой плоскости? Решаем $c_1=2$, $c_2=1$, вторая координата $2+1=3$ — совпало, лежит. А $(2,3,2)$? Вторая координата из первых двух даёт $3$, третья $c_2=2$, но тогда $c_1=0$ и первая координата $0$, не $2$. Система несовместна — вектор вне плоскости. Такая вот проверка принадлежности одним прогоном Гаусса.

С двумя подпространствами сразу работают два правила. Пересечение подпространств — всегда подпространство: условия замкнутости наследуются обеими частями. А вот объединение, как правило, нет: возьмите две прямые через ноль в ${\mathbb{R}}^2$ — сумма вектора с одной и вектора с другой на осях не живёт. Лечится это понятием суммы — множества всех векторов вида $\vec{u}+\vec{v}$; сумма двух подпространств снова подпространство, и для размерностей верна формула Грассмана: $\dim U+\dim V=\dim (U\cap V)+\dim (U+V)$. Арифметика на примере: две различные плоскости через начало координат в ${\mathbb{R}}^3$ — по $2$ размерности, пересечение — прямая размерности $1$, и $2+2-1=3$: сумма накрывает всё пространство.

Насчёт практической пользы: фотография размером $1000\times 1000$ пикселей — это вектор с миллионом координат, и всё компьютерное зрение живёт подпространствами такого пространства: оказалось, что изображения лиц лежат близко к области малой размерности, а базисные векторы этой области (их назвали «собственными лицами») находят методами линейной алгебры. Сжатие звука, рекомендательные системы, шифрование — везде сначала абстрагируются до линейного пространства, а потом работают базисом и координатами.

Итоговая картина курса: векторы и операции из начала предмета были частным случаем — стрелочками в ${\mathbb{R}}^2$ и ${\mathbb{R}}^3$. Теперь контракт распространён на матрицы, многочлены и функции, а инструменты — независимость, базис, ранг — станут рабочими в теме собственных значений. Если захочется разминки вычислениями, к вашим услугам тренажёр по матрицам.