📈 Матанализ

Метод интегрирования по частям

Q: Что делать, если после применения формулы интеграл стал хуже?

Поменять роли: за $u$ взять другой множитель. Если $\int x \cos x\,dx$ решать, дифференцируя косинус, степень у $x$ вырастет и станет хуже; правильный выбор — $u = x$. Диагностика проста: после первого применения сложность должна падать. Отдельный случай — циклические интегралы вроде $\int e^x \sin x\,dx$, где исходный интеграл возвращается сам: уравнение решается относительно него.

англ. Integration by parts

Правило произведения «наоборот»: ∫u dv = uv − ∫v du. Сводит интеграл к более простому за счёт дифференцирования одного множителя и интегрирования другого.

Интегрирование по частям — формула $\int u d v = uv - \int v d u$ , обратная сторона правила дифференцирования произведения. Интеграл от произведения двух множителей обменивается на более простой: один множитель дифференцируется ( $u$ ), другой интегрируется ( $d v$ ). Правило выбора короткое: за $u$ берут то, что упрощается под штрихом — логарифм, арктангенс, многочлен; за $d v$ — то, что легко интегрируется: $e^{x} d x$ , $sin x d x$ , $x^{2} d x$ . Базовая запись метода — в терминах интегрирование по частям, полная техника — в уроке метод замены и по частям.

Примеры собирают коллекцию шаблонов. $\int x e^{x} d x$ : $u = x$ , $d v = e^{x} d x$ даёт $x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$ — степень упала. $\int ln x d x$ : $u = ln x$ , $d v = d x$ даёт $x ln x - \int d x = x ln x - x + C$ — логарифм исчез вовсе. Циклический сюрприз: для $I = \int e^{x} cos x d x$ два применения по частям возвращают исходный интеграл, и из равенства $I = e^{x} sin x + e^{x} cos x - I$ выходит $I = \frac{e ^{x} ( s i n x + c o s x )}{2} + C$ . Погреться на типовых — в шпаргалке методов интегрирования и тренажёре интегралов.

В определённом интеграле границы подставляются сразу в правую часть: $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x} - e^{x}]_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1$ . Две ловушки заслуживают отдельной бдительности: во-первых, при нахождении $v$ константу можно молча брать нулевой — лишние слагаемые всё равно поглотятся; во-вторых, неудачный выбор $u$ способен усложнить интеграл вместо упрощения — тогда роли меняют местами и начинают заново. Опыт распознавания «частных» интегралов собирается в разборе как решать интегралы, а сам инструмент — частный случай полной теории из термина интеграл.

\int u d v = u v - \int v d u, \int_{a}^{b} u d v = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u

правило произведения в интегральной форме: один множитель дифференцируем, второй интегрируем

Частые вопросы

Что делать, если после применения формулы интеграл стал хуже?

Поменять роли: за $u$ взять другой множитель. Если $\int x cos x d x$ решать, дифференцируя косинус, степень у $x$ вырастет и станет хуже; правильный выбор — $u = x$ . Диагностика проста: после первого применения сложность должна падать. Отдельный случай — циклические интегралы вроде $\int e^{x} sin x d x$ , где исходный интеграл возвращается сам: уравнение решается относительно него.

Почему $\int ln x d x$ решается по частям?

У логарифма нет элементарной первообразной в таблице, но его производная $1/ x$ предельно проста. Берём $u = ln x$ , $d v = d x$ : тогда $d u = \frac{d x}{x}$ , $v = x$ , и $\int ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln x - x + C$ . Приём «за $u$ брать то, что упрощается под штрихом» здесь срабатывает идеально — логарифм растворяется за один шаг.

пошагово

Решатель интегралов

Разобрать метод по частям на своём примере

Решатель покажет расстановку u и dv и проверит результат дифференцированием.

Открыть решатель

Частые вопросы

Что делать, если после применения формулы интеграл стал хуже?

Почему ∫lnxdx решается по частям?

Почему $\int ln x d x$ решается по частям?