📈 Матанализ

Геометрический смысл производной

Q: Чем касательная отличается от секущей?

Секущая проходит через две точки графика и имеет два общего с ним решения; касательная прижимается к графику в одной точке и совпадает с ним «в первом порядке». Парабола $y = x^2$ с прямой $y = 2x - 1$ в точке $1$ даёт уравнение $(x-1)^2 = 0$ — двойной корень, касание. Секущая дала бы два разных пересечения.

Q: Обязательно ли f′(x₀) = 0 означает экстремум?

Нет: у $y = x^3$ в нуле касательная горизонтальна, но функция монотонно растёт — это перегиб. Для экстремума нужна смена знака производной: плюс на минус (максимум) или минус на плюс (минимум). Равенство нулю — только билет на участие в конкурсе на экстремум.

англ. Geometric meaning of the derivative

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику: f′(x₀) = tg α; плюс — рост, минус — падение, ноль — горизонтальная касательная.

Геометрический смысл: производная $f^{'} (x_{0})$ — угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_{0}$ , то есть $f^{'} (x_{0}) = tg α$ , где $α$ — угол наклона касательной. Приращение $\frac{Δ y}{Δ x}$ — наклон секущей; предел при $Δ x \to 0$ поворачивает секущую в касательную. Знак читается мгновенно: $f^{'} > 0$ — функция растёт, $f^{'} < 0$ — падает, $f^{'} = 0$ — касательная горизонтальна (кандидат в экстремумы).

Практика задачи с графиком производной (задание 7 ЕГЭ): по знакам $f^{'}$ восстанавливаются промежутки монотонности, по смене знака — точки экстремума; количество точек, где $f^{'} = 0$ , равно числу горизонтальных касательных. Уравнение касательной собирается из трёх чисел: $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ — значение, наклон, точка; пример: для $f (x) = x^{2}$ в $x_{0} = 1$ касательная $y = 1 + 2 (x - 1) = 2 x - 1$ . Полный разбор с касательной и нормалью — на странице касательная и нормаль, уравнение — в термине уравнение касательной.

f^{'} (x_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} = tg α; y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

предел секущей и уравнение касательной

Частые вопросы

Чем касательная отличается от секущей?

Секущая проходит через две точки графика и имеет два общего с ним решения; касательная прижимается к графику в одной точке и совпадает с ним «в первом порядке». Парабола $y = x^{2}$ с прямой $y = 2 x - 1$ в точке $1$ даёт уравнение $(x - 1)^{2} = 0$ — двойной корень, касание. Секущая дала бы два разных пересечения.

Обязательно ли f′(x₀) = 0 означает экстремум?

Нет: у $y = x^{3}$ в нуле касательная горизонтальна, но функция монотонно растёт — это перегиб. Для экстремума нужна смена знака производной: плюс на минус (максимум) или минус на плюс (минимум). Равенство нулю — только билет на участие в конкурсе на экстремум.