📈 Матанализ

Уравнение касательной

Q: Что делать, если f′(x₀) = 0?

Касательная горизонтальна: $y = f(x_0)$. Нормаль при этом вертикальна — её уравнение $x = x_0$, и формула с $-\tfrac{1}{f'}$ неприменима (деление на ноль): вертикальные прямые не выражаются через угловой коэффициент. Это единственный случай, где уравнения пишутся отдельно.

англ. Tangent line equation

y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀): значение в точке плюс наклон на приращение; три числа — точка, высота, производная.

Уравнение касательной к графику $f$ в точке $x_{0}$ : $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . Три ингредиента: высота точки $f (x_{0})$ , наклон $f^{'} (x_{0})$ и база $x_{0}$ . Пример: $f (x) = x^{2}$ в $x_{0} = 1$ даёт $y = 1 + 2 (x - 1) = 2 x - 1$ ; проверка касания: $x^{2} = 2 x - 1$ имеет решение $(x - 1)^{2} = 0$ — двойной корень, прямая прижалась к параболе. В точке $x_{0} = 0$ та же функция даёт $y = 0$ — горизонтальная касательная в вершине.

Алгоритм из четырёх шагов: подставить $x_{0}$ в функцию (высота); найти $f^{'} (x)$ и подставить $x_{0}$ (наклон); собрать уравнение; при нужде — проверить касание двойным корнем. Приложения: приближённые вычисления ( $4, 02 \approx 2 + \frac{1}{4} \cdot 0, 02 = 2, 005$ — линеаризация), оценка погрешности измерений, физика малых колебаний (маятник линеаризуется синусом в тангенс). Нормаль — перпендикуляр к касательной с наклоном $- \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )}$ ; обе прямые и их точки встречи — на странице касательная и нормаль, наклон — в геометрическом смысле производной.

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}); нормаль : y = f (x_{0}) - \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (x - x_{0})

касательная через три числа и перпендикулярная нормаль

Частые вопросы

Что делать, если f′(x₀) = 0?

Касательная горизонтальна: $y = f (x_{0})$ . Нормаль при этом вертикальна — её уравнение $x = x_{0}$ , и формула с $- \frac{1}{f ^{'}}$ неприменима (деление на ноль): вертикальные прямые не выражаются через угловой коэффициент. Это единственный случай, где уравнения пишутся отдельно.

Чем касательная полезна для приближённых вычислений?

Возле точки касания график и прямая почти совпадают, поэтому значение сложной функции заменяется значением линейной: $25, 1 \approx 5 + \frac{1}{10} \cdot 0, 1 = 5, 01$ (истина $5, 00998$ ). Ошибка имеет порядок квадрата отклонения — вдвое меньшее отклонение даёт вчетверо меньшую ошибку. Так работают калькуляторы внутри.