🌐 Матфизика

Метод разделения переменных

англ. Separation of variables

Приём решения УЧП: решение ищется произведением функций одной переменной, уравнение распадается на обычные ДУ; основа метода Фурье.

Метод разделения переменных (метод Фурье) ищет решение УЧП произведением функций по одной переменной: $u (x, t) = X (x) T (t)$ . Подставим это в уравнение теплопроводности $u_{t} = a^{2} u_{xx}$ : слева $X T^{'}$ , справа $a^{2} X^{''} T$ . Делим на $a^{2} X T$ — слева остаётся функция только времени, справа только координаты. Если функция одного аргумента равна функции другого при всех $x$ и $t$ , обе равны константе $- λ$ : одно УЧП распалось на два обычных ДУ.

Граничные условия превращают задачу для $X$ в задачу Штурма–Лиувилля: при $X (0) = X (L) = 0$ выживают лишь $λ_{n} = (π n / L)^{2}$ и $X_{n} = sin (π n x / L)$ . Каждой моде отвечает своя экспонента во времени, а произвольные начальные данные раскладываются в ряд по собственным функциям — полная процедура с числовым примером разобрана в уроке метод разделения переменных.

u (x, t) = n = 1 \sum \infty b_{n} e^{- a^{2} (π n / L)^{2} t} sin \frac{π n x}{L}

решение уравнения теплопроводности на отрезке

[0, L]

, собранное из мод; коэффициенты

b_{n}

находят из начального профиля

u (x, 0)

Частые вопросы

Почему решение можно искать именно произведением функций?

Потому что линейное уравнение с постоянными коэффициентами и подходящими краями имеет полный набор мод — собственных функций, и любое разумное начальное условие по ним раскладывается, как по синусам в ряд Фурье. Произведение $X (x) T (t)$ — простейший кирпичик такого решения; построив все кирпичики, линейность разрешает складывать их с весами $b_{n}$ .

Когда метод разделения переменных не срабатывает?

Если уравнение нелинейно, коэффициенты зависят сразу от нескольких переменных или область слишком затейлива, произведение $X (x) T (t)$ перестаёт удовлетворять уравнению. Иногда спасает обобщение: разделение в полярных или сферических координатах, разложение по полиномам. А бегущие волны на бесконечной струне быстрее получаются методом характеристик — там решение переносится вдоль прямых безо всяких рядов.