🌐 Матфизика

Схема Кранка–Николсона

англ. Crank–Nicolson scheme

Разностная схема для уравнения теплопроводности: полусумма явного и неявного шагов. Устойчива при любом шаге по времени, второй порядок точности по обеим переменным.

Явная схема для тепла проста, но требует шаг по времени не больше $τ \leq h^{2} / (2 a^{2})$ — мельчишь шаг по пространству, плати тысячекратно по времени. Неявная устойчива, но точность падает до первого порядка. Схема Кранка–Николсона берёт полусреднее: пространственная вторая разность усредняется по двум моментам времени. Результат — второй порядок и по времени, и по пространству, без ограничения на шаг. Цена — трёхдиагональная система на каждом шаге, но прогонка решает её за линейное время.

Анализ по фон Нейману даёт множитель перехода $(1 - 2 r sin^{2} (θ /2)) / (1 + 2 r sin^{2} (θ /2))$ — по модулю не выше единицы при любом соотношении шагов, схема безусловно устойчива. Осторожность нужна с изломанными начальными данными: при крупных шагах времени всплывают осцилляции, хоть устойчивость и есть — точность второго порядка чувствительна к гладкости. Шаг вперёд по времени — в уроке уравнение теплопроводности, сравнение методов для эволюционных задач — в материале численное решение ОДУ, постановка с краями — в смешанная задача.

\frac{u _{j}^{n + 1} - u _{j}^{n}}{τ} = \frac{a ^{2}}{2 h ^{2}} (u_{j + 1}^{n + 1} - 2 u_{j}^{n + 1} + u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n} - 2 u_{j}^{n} + u_{j - 1}^{n})

схема Кранка–Николсона для уравнения теплопроводности: пространственная вторая разность берётся полусуммой на новом и старом слоях времени; отсюда второй порядок и по

τ

, и по

h

Частые вопросы

Почему схема устойчива при любом шаге по времени?

Гармоника подставляется в разностное уравнение и даёт множитель перехода — отношение амплитуд на соседних слоях. Для Кранка–Николсона это дробь с одинаково устроенными числителем и знаменателем: $(1 - 2 r sin^{2}) / (1 + 2 r sin^{2})$ при $r = a^{2} τ / h^{2}$ . Знаменатель не меньше числителя и положителен, значит модуль не превышает единицы — никакая гармоника не растёт, каким бы ни был шаг.

Если ограничения на шаг нет, почему нельзя считать грубо?

Устойчивость гарантирует затухание погрешностей, а не точность. При крупном шаге растёт ошибка аппроксимации, а негладкие начальные данные дают осцилляции: схема второго порядка честно воспроизводит высокочастотные хвосты, которые физика давно загасила. Каждый шаг — ещё и решение трёхдиагональной системы, так что грубая сетка по времени экономит меньше, чем портит. Шаг выбирают по нужной точности, а не по устойчивости.