Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра: постановка, резольвента, примеры

Инженер рассчитывает прогиб балки и пишет: прогиб в точке $x$ — сумма вкладов от нагрузки в каждой точке $t$, причём вклад точки $t$ тем меньше, чем дальше она от $x$. Вклад измеряется коэффициентом влияния $K(x,t)$ — и расчёт превращается в формулу $u(x)=\int K(x,t)q(t)dt$. Пока нагрузка $q$ известна, это просто интегрирование. Но бывает наоборот: известен результат, а ищем причину — или уравнение состояния, где искомая функция стоит и справа, и внутри интеграла. Тогда перед нами интегральное уравнение: уравнение, в котором неизвестная функция входит под знак интеграла. Производных нет, начальных условий нет — и это не упрощение, а смена оптики: вся информация о краевых условиях и о среде спрятана в ядре $K$.

Два семейства: Фредгольм и Вольтерра#

Каноническая постановка делится на два больших семейства. Уравнение Фредгольма второго рода — интеграл берётся по фиксированному отрезку:

Уравнение Вольтерра отличается одной буквой, а по сути — всем: верхний предел интегрирования переменный, $t$ пробегает от $a$ до текущего $x$:

Различие не косметическое. Ядро Фредгольма связывает каждую точку с каждой: сигнал в $x$ приходит из всего отрезка сразу, и в уравнении возможен резонанс — значения $\lambda$, при которых решение пропадает или становится неединственным. Ядро Вольтерра устроено причинно: значение в точке $x$ зависит лишь от значений левее, и эта каузальность гарантирует, что резонансов нет вовсе — решение существует и единственно при любом $\lambda$. Если свободного члена снаружи нет, $f\equiv 0$, говорят о первом роде: $f(x)=\lambda \int K\phi dt$. Уравнения первого рода — тяжёлая артиллерия: оператор в них сглаживает данные, и задача становится неустойчивой; классика второго рода мягче, и именно с него начинают любой курс.

Резольвента: что пытается сделать ряд Неймана#

Способ решения подсказывает сама форма уравнения. Подставим в правую часть вместо $\phi$ её же выражение — и повторим это несколько раз. Получится цепочка: $\phi =f+\lambda Kf+{\lambda }^2{K}^{2}f+\dots$, где $K^{2}f(x)=\int K(x,t)(Kf)(t)dt$ — «двойное применение» ядра. Это ряд Неймана, та же геометрическая прогрессия, только вместо умножения — действие интегрального оператора:

Ряд сходится, если $\lambda$ достаточно мала на фоне ядра. Грубая, но рабочая оценка: если $M={\max }_{x,t}|K(x,t)|$ на отрезке длины $L=b-a$, то при

Сумму ряда записывают как $\phi (x)=f(x)+\lambda \int R(x,t;\lambda )f(t)dt$, и ядро $R$ называют резольвентой: это «готовый ответ» уравнения, встроенный в интеграл. Резольвента — аналитическая функция параметра $\lambda$, и вся информация о решении сидит в ней. Практический вывод: уравнение второго рода решается итерациями ${\phi }_{n+1}=\lambda K{\phi }_n+f$ — тем самым методом простых итераций, который для нелинейных уравнений разбирается отдельно; каждая итерация — одно интегрирование, и сходимость видна по глазам: члены ряда убывают.

Ручной пример: вырожденное ядро#

Ядра вида $K(x,t)=g(x)h(t)$ — произведение функции от $x$ на функцию от $t$ — называют вырожденными. Они стоят особняком: любое такое уравнение сводится к алгебраическому, и весь механизм теории виден на пальцах. Возьмём на отрезке $[0,1]$ уравнение

Множитель $x$ не зависит от переменной интегрирования, его можно вынести за знак интеграла: $\phi (x)=\lambda x{\int }_0^{1}t\phi (t)dt+1$. Вся неизвестность свернулась в одно число $A={\int }_0^{1}t\phi (t)dt$ — и решение обязано иметь вид $\phi (x)=\lambda Ax+1$. Чтобы найти $A$, умножим обе части на $t$ и проинтегрируем: $A=\lambda A{\int }_0^1{t}^{2}dt+{\int }_0^{1}tdt=\frac{\lambda A}{3}+\frac{1}{2}$. Линейное уравнение на одно число:

При $\lambda =1$ получаем $A=\frac{1/2}{2/3}=\frac{3}{4}$, то есть $\phi (x)=\frac{3}{4}x+1$. Проверка честная: ${\int }_0^{1}t\left(\frac{3}{4}t+1\right)dt=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ — число $A$ воспроизвелось, решение верное. Численно ряд Неймана подтверждает: стартуя с ${\phi }_0=1$ и повторяя ${\phi }_{n+1}=K{\phi }_n+1$, после шести десятков итераций в точке $x=0,5$ получаем $1,375002$ против точного $\frac{3}{4}\cdot 0,5+1=1,375$.

Случай $\lambda =3$ — не сбой метода, а содержательная информация. Это собственное значение ядра: параметр, при котором однородное уравнение $\phi =\lambda K\phi$ обзаводится ненулевым решением — здесь $\phi (x)=x$. По альтернативе Фредгольма либо $\lambda$ не собственное — и неоднородное уравнение имеет единственное решение при любой правой части, либо собственное — и решение существует только для правых частей, ортогональных «сопряжённой» собственной функции, причём неоднозначно. Точно такая же дилемма знакома по задаче Штурма–Лиувилля и собственным функциям: резонансы оператора не зависят от того, в какой форме записана задача — дифференциальной или интегральной.

Почему краевая задача — это интегральное уравнение#

Откуда берутся интегральные уравнения в задачах математической физики? Из обращения дифференциального оператора. Возьмём краевую задачу $-u^{\prime \prime }=F(x)$ на $(0,1)$ с заделкой $u(0)=u(1)=0$. Дважды проинтегрировав, решение можно записать через функцию Грина — отклик оператора на точечный источник:

Теперь пусть на стержень действует упругое основание: $F(t)=f(t)-\lambda u(t)$ — сила зависит от самого прогиба. Подстановка в формулу Грина даёт $u(x)=\int G(x,t)f(t)dt-\lambda \int G(x,t)u(t)dt$, то есть уравнение Фредгольма второго рода с ядром $G$. Все граничные условия исчезли из постановки — они вшиты в ядро: $G(0,t)=G(1,t)=0$ тянет за собой $u(0)=u(1)=0$ автоматически. Именно за это интегральную форму любят: решения уравнения Фредгольма непрерывны, если непрерывно ядро, — оператор сглаживает, а не портит; и численные методы для интегральных уравнений устойчивее, чем для исходной дифференциальной постановки. Свойства ядра Грина — пик в точке источника высотой $t(1-t)$, симметрия $G(x,t)=G(t,x)$ — можно пощупать на симуляции.

С задачей Коши связь ещё прямее. Уравнение $y^{\prime }=F(x,y)$ с начальным условием $y(x_0)=y_0$ интегрированием превращается в уравнение Вольтерра второго рода: $y(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}F(t,y(t))dt$. Итерации Пикара $y_{n+1}=y_0+\int F(t,y_n(t))dt$ — это в точности ряд Неймана, применённый к уравнению Вольтерра; из него и вытекает теорема о существовании и единственности решения задачи Коши, на которой стоит весь курс дифференциальных уравнений.

Самый прозрачный пример: $\phi (x)={\int }_0^x\phi (t)dt+1$. Дифференцируем: ${\phi }^{\prime }=\phi$, а из уравнения при $x=0$ видно $\phi (0)=1$ — значит, $\phi (x)=e^x$. Но можно и не решать, а суммировать: $Kf={\int }_0^{x}1dt=x$, $K^{2}f={\int }_0^{x}tdt=x^2/2$, $K^{3}f=x^3/6$. Ряд Неймана $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots$ — это и есть разложение экспоненты; в точке $x=0,7$ частичные суммы идут $1\to 1,7\to 1,945\to 2,0022\to 2,0122\to 2,0136$, приближаясь к $e^{0,7}=2,01375$. Экспонента здесь не совпадение, а подпись каузальности: уравнения Вольтерра порождают полугруппы и эволюцию, уравнения Фредгольма — спектр и резонансы.

Практический горизонт широкий: уравнения переноса излучения и рассеяния, теория упругости (интегралы от напряжений по области контакта), задачи на собственные значения в численных методах, обратные задачи гравиметрии — там, где отклик измеряется интегралом по области. Формулы всех ключевых уравнений этой темы собраны в шпаргалке по УЧП.

Частые ошибки#

• Перепутать род. Второй род — неизвестная и снаружи, и под интегралом: $\phi =f+\lambda \int K\phi$. Первый род — только под интегралом: $f=\int K\phi$. У них разная теория: у первого рода решения могут не существовать и быть неустойчивыми, «штрафных» оценок сходимости простых итераций нет.
• Ряд Неймана без проверки условия. Грубое условие $|\lambda |M(b-a)<1$ достаточно, но не необходимо: при его нарушении ряд может сходиться (а может и нет). Считать, что «ряд всегда сходится для Вольтерра» можно — для Фредгольма нельзя.
• Потерять особое $\lambda$. Если знаменатель типа $1-\lambda /3$ обратился в ноль, а вы молча поделили — решение вымышленное. Ноль знаменателя — сигнал: альтернатива Фредгольма, проверять совместность правой части.
• Дифференцирование Вольтерра без начального условия. После дифференцирования $\phi (x)={\int }_0^x\phi dt+1$ получается ${\phi }^{\prime }=\phi$ — семейство $C{e}^x$. Константа находится подстановкой $x=0$ в исходное интегральное уравнение: $\phi (0)=1$. Без этого шага ответ неопределён.
• Ждать резонансов у Вольтерра. Их нет: переменный верхний предел делает спектр пустым, решение существует и единственно при любом $\lambda$. Ищем «собственное значение уравнения Вольтерра» — теряем время.

Интегральная форма — ещё один язык, на котором говорит математическая физика, и перевод с дифференциального на интегральный часто упрощает жизнь: граничные условия вшиваются в ядро, гладкость повышается, итерации становятся устойчивыми. Той же философией — «свернуть задачу в проекцию на удобные функции» — работает метод Галёркина; а вариант уравнения, где вместо ядра стоит функция влияния источника, встречается в каждой краевой задаче, начиная с уравнения теплопроводности.