Задача Миндлина: сила внутри упругого полупространства

Если нагрузка стоит на поверхности грунта — фундамент, штамп, колёса — осадку считают по формуле Буссинеска. Но очень часто сила передаётся не к поверхности, а вглубь: остриё сваи упирается в плотный слой, анкер тянет плиту со дна котлована, туннель разгружает массив под городом. Для таких случаев точный ответ дал Рэймонд Миндлин в 1936 году, и этот ответ по праву считается одной из самых громоздких формул классической теории упругости. В уроке мы разберём постановку, посмотрим, как задача устроена между двумя простыми крайностями — Буссинеском и Кельвином, — и честно посчитаем одну численную оценку осадки, не пряча оговорок в сноски.

Три классические задачи о сосредоточенной силе#

Теория упругости хранит три канонических решения о точечной силе. Лорд Кельвин в 1848 году решил задачу о силе в безграничном упругом пространстве — границы нет вовсе. Жозеф Буссинеск в 1885 году — о вертикальной силе на поверхности полупространства. Миндлин соединил крайности: сила действует внутри полупространства, на глубине $c$ под свободной поверхностью. Сравнение удобно держать перед глазами:

Все три постановки линейны и различаются лишь геометрией границы — этим они обязаны принципу суперпозиции линейных уравнений. Поэтому задачу Миндлина полезно понимать как «Кельвин плюс исправления за границу»: чем глубже спрятана сила, тем меньше границе остаётся работы.

Постановка задачи Миндлина#

Упругое полупространство — среда, заполняющая всё ниже горизонтальной плоскости $z=0$; ось $z$ направим вглубь грунта. Среда однородна и изотропна, её характеризуют модуль Юнга $E$ и коэффициент Пуассона $\nu$ — те же величины, что в задачах растяжения и сжатия; физический смысл и способы измерения разобраны в термине о модуле Юнга. Поверхность $z=0$ свободна от напряжений. В точку $(0,0,c)$ на глубине $c$ вложена вертикальная сила $P$, направленная вниз. Найти требуется перемещения и напряжения во всём полупространстве — а в первую очередь осадку поверхности.

Структура решения: сила и её отражение#

Свой ответ Миндлин строил через вектор Галёркина — вспомогательный векторный потенциал, названный в честь того же Бориса Галёркина, что и проекционный метод из предыдущего урока: один учёный оставил имя и в алгебре, и в теории упругости. Идея сборки напоминает метод изображений из электростатики. Берём кельвиновское решение для силы на глубине $c$ — расстояние до точки наблюдения $R_1=\sqrt{r^2+(z-c{)}^2}$; добавляем «отражённую» силу на глубине $-c$ — расстояние $R_2=\sqrt{r^2+(z+c{)}^2}$ — и расплачиваемся за свободную поверхность набором поправочных членов с $\nu$. Отсюда и скачок громоздкости: у Буссинеска ответ — одна дробь, у Миндлина — страница.

У конструкции два точных предельных случая, и оба бесценны как проверки. При $c\to 0$ сила всплывает на поверхность, и решение Миндлина переходит в решение Буссинеска. При $c\to \infty$ граница становится неощутимой, и на любом конечном расстоянии ответ переходит в кельвиновский. Обе крайности выписываются одной строкой, поэтому именно на них держится вся инженерная практика оценок:

Обе формулы размерно согласованы: сила, делённая на модуль и длину, даёт длину. У точечной идеализации есть цена: при $r\to 0$ обе дроби растут неограниченно — осадка непосредственно под точечной силой бесконечна. Реальные нагрузки распределены по пятну контакта, и интегрирование по этому пятну снимает расходимость; численный пример ниже поэтому считает точки на конечном расстоянии от силы.

Качественные зависимости, которые даёт полное решение. Осадка поверхности над силой убывает с глубиной примерно как $1/c$. Влияние коэффициента Пуассона умеренное: коэффициенты точного ответа отличаются от единицы множителями порядка двух на всём реалистичном диапазоне $\nu$. Горизонтальная сила — Миндлин решил в той же работе и эту задачу — устроена аналогично, но со своей системой поправок. Главное следствие для инженера: глубина прячет силу, потому что напряжения успевают размазаться по объёму раньше, чем достигнут поверхности.

Где применяется решение Миндлина#

Первая профессия решения — сваи. Свая передаёт нагрузку грунту боковым трением вдоль ствола и остриём; в 1960-е Гарри Пулос показал, что и то и другое моделируется набором точечных сил на разных глубинах, а осадка собирается интегрированием решения Миндлина и суммированием вкладов. На этой схеме построены классические таблицы влияния глубинных сил и расчёт осадок свайных фундаментов, которым геотехники пользуются до сих пор; современный метод конечных элементов проверяет себя на задаче Миндлина как на эталоне — точно так же, как любая сеточная программа сверяется с точным решением.

Вторая профессия — взаимное влияние фундаментов: осадка соседнего здания от новой стройки зависит от глубины передачи нагрузки, и ниже мы посчитаем этот эффект числом. Третья — контактные и анкерные задачи: якорные плиты, штампы на глубине, разгрузка котлованов. Наконец, решение Миндлина — ингредиент более сложных построений: слоистых оснований, вязкоупругих моделей, задач о включениях. Уравнения равновесия, из которых оно вырастает, эллиптичны, и общая логика таких граничных задач разобрана в уроке про уравнение Лапласа, а роль условий на границе — в термине о граничных условиях.

Численный пример: оценка осадки над глубокой силой#

Данные: $P=1$ МН, $E=30$ МПа, $\nu =0,3$ — плотный суглинок; сила передана на глубину $c=5$ м, скажем, пяткой сваи. Спрашиваем: сколько просядет поверхность над силой? Точную формулу Миндлина мы не выписывали, поэтому возьмём инженерную оценку «глубина работает как удаление»: в формуле Буссинеска заменим горизонтальное расстояние $r$ глубиной $c$.

Физические следствия: взаимное влияние фундаментов#

Та же оценка объясняет, почему соседи по застройке чувствуют друг друга по-разному. Осадка точки поверхности на горизонтальном расстоянии $r$ от силы, зарытой на глубину $c$, по нашей модели равна $w\approx P(1-{\nu }^2)/(\pi E\sqrt{r^2+c^2})$: глубина работает как удлинение расстояния. Отношение к случаю той же силы на поверхности составляет $r/\sqrt{r^2+c^2}$ — множитель, который всегда меньше единицы.

Число. Соседний дом стоит в шести метрах от новой сваи с нагрузкой $1$ МН на глубине $5$ м. Множитель $6/\sqrt{61}=6/7,81\approx 0,77$: влияние примерно на $23\%$ слабее, чем от той же силы на поверхности, — $1,2$ мм вместо $1,6$ мм при наших $E$ и $\nu$. Эффект кажется скромным, но фундамент собирает вклады десятков соседних нагрузок, и множители перемножаются по всем источникам сразу: именно поэтому осадки, посчитанные по Буссинеску «как для поверхности», для свай систематически завышаются, а поправки Миндлина приближают расчёт к наблюдаемым значениям.

Частые ошибки#

• Смешение трёх задач. Кельвин — без границ, Буссинеск — сила на поверхности, Миндлин — сила на глубине. Формула, верная для одной постановки, для другой даёт не «приближение», а ответ к другой задаче.
• Бесконечность под точечной силой. Все точные решения сингулярны в точке приложения: спрашивать осадку «ровно под силой» бессмысленно. Работают распределённые нагрузки — интегрирование по пятну контакта или по стволу сваи.
• Потерянные единицы. МН и МПа согласованы: $\text{МН}/\text{МПа}=\text{м}$. Если сила в ньютонах, а модуль в мегапаскалях, ответ уедет на шесть порядков — классическая арифметическая ошибка в расчётах осадок.
• Слепая вера в оценку. Формула $P(1-{\nu }^2)/(\pi Ec)$ передаёт закон $1/c$ и крайние случаи, но не заменяет полное решение Миндлина. Проектные значения — по таблицам коэффициентов или численной модели.
• Игнор $\nu$. Коэффициент Пуассона управляет поправкой за границу: множитель $2(1-\nu )$ из нашего сравнения пробегает от $1,6$ при $\nu =0,2$ до $1,1$ при $\nu =0,45$. Считать всё «типичное» без оговорки — небрежность.

Задача Миндлина замыкает линию, начатую в основах уравнений в частных производных: линейные уравнения математической физики решаются суперпозицией, а граничные условия превращают простое решение Кельвина в громоздкое, но управляемое построение. Формулы темы собраны в шпаргалке по УЧП, пошаговые постановки — в разборе как решать УЧП, задачи с числами — в тренажёре по УМФ. Аналогию «точечный источник — функция влияния» удобно держать в голове через термин о функции Грина: сосредоточенная сила и есть функция Грина теории упругости.