Задача Дирихле для круга: метод Фурье и формула Пуассона

Тонкий металлический диск лежит на столе, и по его ободу смонтированы нагреватели: у одного края поддерживают 120°, напротив — 80°, между ними температура кромки плавно переходит туда и обратно. Прошёл час. Внутри уже ничего не меняется: каждое пятнышко металла получило свою окончательную температуру. Спорим, вы угадаете показание термометра в самом центре с первой попытки? Интуиция шепчет: «что-то среднее». Расчёт покажет: ровно среднее по ободу — и это не везение, а теорема, которую мы выведем по дороге.

Что именно просит задача Дирихле?#

Стационарное температурное поле без источников внутри удовлетворяет уравнению Лапласа. Значит, нужно найти функцию $u(r,\theta )$ — температуру в точке с полярными координатами — которая внутри круга радиуса $R$ гармонична, а на границе принимает заданные значения $g(\theta )$:

Почему полярные координаты? Граница круга в декартовых координатах — кривая $x^2+y^2=R^2$, с которой мучительно стыковать условия. В полярных та же граница — прямая линия $r=R$: одна координата заморожена, вторая свободно бегает по ободу. Лапласиан при этом обзаводится весом у радиуса:

Постановку, принцип максимума и общие свойства решений мы подробно разбирали в уроке про уравнение Лапласа — там круг мелькал на скорую руку. Здесь распишем решение медленно, шаг за шагом, потому что именно этот пример выпускники защищают на экзаменах чаще всего. Метод тот же, что для струны и стержня — разделение переменных: уравнение линейно и однородно, значит, решения можно искать произведением и складывать.

Почему номер гармоники обязан быть целым?#

Ищем решение произведением $u=R(r)\Phi (\theta )$. Подставляем в полярный лапласиан и делим на $R\Phi$ — переменные расходятся по разным сторонам равенства. Слева остаётся функция только радиуса, справа — только угла. Равенство держится при всех $r$ и $\theta$ сразу, а это возможно лишь при постоянной. Обозначим её $n^2$:

Угловое уравнение ${\Phi }^{\prime \prime }+n^2\Phi =0$ при $n>0$ даёт косинусы и синусы $\cos n\theta$, $\sin n\theta$. При $n=0$ остаётся константа, а при $n^2<0$ решения — экспоненты $e^{\pm k\theta }$, которые не периодичны и однозначность ломают сразу. Но и тригонометрический случай проходит фильтр не автоматически: повернёмся на полный оборот — та же физическая точка, значит, $\Phi (\theta +2\pi )=\Phi (\theta )$. Синус с дробным $n$, скажем $\sin (0,5\theta )$, после оборота превратится в другую функцию — и решение не имеет права на жизнь. Отсюда жёсткое требование:

Это первый подарок геометрии круга: спектр дискретен не из-за краевых условий на отрезке, как у струны, а из-за замкнутости траектории. Оборот по окружности возвращает нас на место — функция обязана быть готова к встрече с самой собой.

Как уравнение Эйлера решает судьбу радиуса?#

Радиальная часть после разделения выглядит так:

Уравнение узнаётся по характерной примете: коэффициенты — степени $r$, на единицу меньшие порядка производной. Его фирменный приём — искать решение степенью $R=r^k$. Подстановка даёт $r^{2}k(k-1)r^{k-2}+rk{r}^{k-1}-n^2{r}^k=(k^2-n^2)r^k=0$, откуда $k=\pm n$. При $n>0$ получаем пару решений $r^n$ и $r^{-n}$. При $n=0$ корень $k=0$ получается дважды — по правилу кратного корня вторым решением становится $\ln r$, и пара выглядит как $1$ и $\ln r$.

А теперь главный поворот всего вывода. Посмотрите, что делают эти функции при $r\to 0$: степень $r^{-n}$ улетает в бесконечность, $\ln r$ — в минус бесконечность. Физика возражает: температура в центре диска — обычное число, конечное и спокойное. Математика соглашается: решение задачи обязано быть ограниченным в замкнутом круге. Поэтому коэффициенты при $r^{-n}$ и при $\ln r$ равны нулю — не по желанию, а по условию ограниченности в центре.

Требование ограниченности — визитная карточка именно круга. В кольце $r_0<r<R$ центра нет, $r^{-n}$ конечен всюду внутри области и остаётся законным решением. Сектор с вырезанной вершиной — своя история со своими степенями. Сравнение трёх областей удобно держать перед глазами:

Как граница превращается в ряд Фурье?#

Складываем выжившие решения со всеми номерами — принцип суперпозиции разрешает. Удобно сразу вписать в каждую гармонику множитель $(r/R{)}^n$: на границе он равен единице, а к центру гаснет. Ряд принимает вид:

Подставим $r=R$. Все множители обернутся единицами, и останется равенство $g(\theta )=\frac{a_0}{2}+\sum (a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta )$ — обычное разложение граничной функции в тригонометрический ряд. Коэффициенты вынимаются ортогональностью, ровно как в уроке про ряды Фурье: умножаем на косинус или синус, интегрируем по ободу — все чужие гармоники умирают.

Числовой прогон. Пусть на ободе диска радиуса $R=10$ держат $g(\theta )=100+20\sin \theta$: средняя сотня градусов плюс перекос на двадцать в одну сторону. Интегралы читаются почти устно: среднее значение $g$ равно $100$, поэтому $a_0=200$ и $a_0/2=100$; перекос — чистая первая гармоника, $b_1=20$, все прочие коэффициенты нулевые. Ряд схлопывается в две буквы:

Снимем показания. В центре $u(0)=100$ — первая гармоника умножилась на ноль и исчезла: в центре диск «забыл» перекос и запомнил только среднее. На границе в самой горячей точке $u(10,\pi /2)=100+20=120$ — совпало с условием. На половинном радиусе там же по углу $u(5,\pi /2)=110$: надбавка уменьшилась ровно во столько же, во сколько раз радиус меньше граничного. Множитель $(r/R{)}^n$ работает как регулятор громкости для каждой гармоники отдельно.

Заодно видна скорость сходимости. Гармоника номер $n$ на радиусе $r$ ослаблена в $(R/r{)}^n$ раз: при $r=R/2$ пятая гармоника приглушена в $2^5=32$ раза, десятая — в тысячу. Чем глубже внутрь, тем более гладкой выглядит картина — острые углы граничной функции не протекают внутрь, поле сглаживается.

Зачем формула Пуассона, если ряд уже есть?#

Ряд отвечает на все вопросы сразу, но плату берёт вперёд: чтобы узнать температуру хотя бы в одной точке, придётся посчитать бесконечную коллекцию интегралов-коэффициентов и просуммировать ряд. Если нужен весь профиль — это честная цена. Если же требуется значение в одной точке (например, в центре датчика), всё решение удобнее свернуть в один интеграл — формулу Пуассона:

Разберём устройство. Знаменатель — квадрат расстояния между точкой наблюдения (радиус $r$, угол $\theta$) и точкой обода (радиус $R$, угол $\phi$): по теореме косинусов это $R^2+r^2-2Rr\cos (\theta -\phi )$. Внутри круга он строго положителен, ядро нигде не взрывается. Множитель $\frac{R^2-r^2}{2\pi }$ — нормировка: подставьте постоянную границу $g\equiv 1$, интеграл от обратного квадрата расстояния по всему ободу даст ровно $\frac{2\pi }{R^2-r^2}$, и ответ выйдет единица (проверено численно: при $R=10$, $r=5$ получается $1,000000000000$).

Что случится на границе? При $r\to R$ множитель перед интегралом тает, но знаменатель собирается в узкий пик около $\phi =\theta$ — вклад соседних участков обода растёт, дальних гаснет, и интеграл выжимает из $g$ ровно значение $g(\theta )$. Сверим оба представления на конкретике: для $g=\cos \theta$ при $R=2$, $r=1$, $\theta =0$ формула даёт $0,5$ — ровно как ряд $(r/R)\cos \theta$. Для нашего перекоса $g=100+20\sin \theta$ в точке $r=5$, $\theta =\pi /2$ интеграл Пуассона возвращает $110$ — совпадение с рядом до восьмого знака.

Почему в центре круга всегда среднее по краю?#

Спрячем в готовый ряд $r=0$. Каждое слагаемое с $n\ge 1$ умножается на ноль — все гармоники разом, — и выживает только константа: $u(0)=a_0/2$. А $a_0/2$ по формуле коэффициентов — не что иное, как среднее арифметическое $g$ по ободу:

Наш пример подтверждает: среднее от $100+20\sin \theta$ по обороту — сотня, потому что интеграл от синуса по полному периоду нулевой. То же верно не только для центра: значение в любой внутренней точке равно среднему по любой окружности с центром в ней, целиком лежащей в круге. Отсюда один шаг до принципа максимума: точка не может быть теплее всех своих соседей, ведь её температура — их среднее. Гармонические функции вообще ведут себя как идеально натянутая плёнка: горбов внутри нет, все холмы сидят на ободе.

На экзамене это самая быстрая проверка ответа. Получили ряд — подставьте центр и сравните с арифметическим средним границы: совпало? Уже есть шанс, что всё чисто. Не совпало — ошибка сидит в коэффициентах, и искать её нужно там, а не в радиальной части. Полный алгоритм решения вместе с типовыми задачами собран в разборе как решать УЧП, формулы темы — в шпаргалке по УЧП.

Круг закрыт: от постановки до интегральной формулы, с проверкой каждого числа. Дальше по курсу — задачи, где однородность ломается: в уравнении появляются источники, а на границах — печки. Их метод Фурье тоже переваривает, но по трём разным рецептам; об этом следующий урок — неоднородные задачи и метод Фурье. А если хочется увидеть, как та же схема работает для переменных коэффициентов, — прямой путь в задачу Штурма–Лиувилля.