🌐 Матфизика

Интеграл Пуассона

Q: Как ядро Пуассона ведёт себя при приближении к границе?

При $r \to 1$ знаменатель минимален при $t = \theta$: ядро выталкивается в узкий высокий пик, а вдали от него прижимается к нулю. Интеграл при этом сохраняет единицу — классическая дельта-последовательность. Поэтому решение прилипает к граничным данным: в пределе вклад даёт только точка напротив точки наблюдения. Пик растёт как $1/(1 - r)$, ширина сжимается с той же скоростью.

англ. Poisson integral

Явная формула решения задачи Дирихле в круге: граничные значения сворачиваются с ядром Пуассона и дают гармоническую функцию внутри — без суммирования рядов вручную.

Край круглой мембраны закреплён с произвольным профилем — пики, ямы, плато. Какова высота в центре? Интеграл Пуассона отвечает одной формулой: взвесить граничные значения ядром, которое при малом радиусе почти постоянно, а у края превращается в острый пик. Ядро положительно и интегрируется в единицу — получается взвешенное среднее, и принцип максимума выполняется сам собой. В центре круга ответ особенно приятен: это просто среднее граничных значений по всей окружности.

Откуда формула: разделение переменных в полярных координатах даёт ряд по степеням $r$ с синусами и косинусами; сумма этого ряда сворачивается в интеграл с ядром $\frac{1 - r ^{2}}{1 - 2 r c o s ( θ - t ) + r ^{2}}$ . При $r \to 1$ ядро вырождается в дельта-функцию — решение прилипает к граничным данным. Та же идея работает для полуплоскости со своим ядром. Вывод и разбор — в уроке задача Дирихле для круга, исходные ряды — в ряды Фурье, расщепление переменных — в метод разделения переменных.

u (r, θ) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - r ^{2}}{1 - 2 r cos ( θ - t ) + r ^{2}} g (t) d t

интеграл Пуассона для единичного круга: граничная функция сворачивается с ядром Пуассона; в центре выходит среднее по окружности, у края — сами граничные значения

Частые вопросы

Как ядро Пуассона ведёт себя при приближении к границе?

При $r \to 1$ знаменатель минимален при $t = θ$ : ядро выталкивается в узкий высокий пик, а вдали от него прижимается к нулю. Интеграл при этом сохраняет единицу — классическая дельта-последовательность. Поэтому решение прилипает к граничным данным: в пределе вклад даёт только точка напротив точки наблюдения. Пик растёт как $1/ (1 - r)$ , ширина сжимается с той же скоростью.

Зачем интеграл Пуассона, если есть ряд Фурье?

Формула — тот же ряд, свёрнутый в компактную упаковку. Практические плюсы: ядро положительно, поэтому оценка решения сверху и снизу через максимум и минимум границы достаётся бесплатно — частичная сумма такого не даёт. Сходимость внутри круга равномерная и быстрая, а поведение у края читается прямо из структуры ядра. Для счёта руками интеграл часто проще суммы с двадцатью членами.