Пространство L¹
англ. L¹ space
Пространство функций с конечным ∫|f|: полное метрическое пространство, где функции, совпадающие почти всюду, не различаются.
Пространство — класс измеримых функций с конечным интегралом модуля: . Норма задаёт метрику , но честной она становится после отождествления: функции, совпадающие почти всюду, объявляются одним элементом — иначе две функции, различающиеся в единственной точке, имели бы нулевое расстояние. Пример масштаба: для на норма равна .
Главная ценность — полнота: всякая фундаментальная по этой метрике последовательность сходится к элементу того же пространства (теорема Рисса — Фишера). Именно полноты не хватало с интегральной метрикой: непрерывные функции фундаментально подбираются к разрывной ступеньке, у которой среди непрерывных предела нет, — пополнение и выдаёт . Как метрика из интеграла вписывается в общую картину — в уроке метрические пространства, откуда берётся сам интеграл — в интеграле Лебега.
Частые вопросы
Зачем отождествлять функции, совпадающие почти всюду?
Чтобы интеграл модуля разности стал метрикой. Аксиома различения требует положительного расстояния у разных функций, но две функции, отличающиеся в одной точке, имеют нулевой интеграл разности. Выход — считать такие функции одним элементом: элемент — это не функция, а класс эквивалентности. Все интегральные величины от выбора представителя класса не зависят, поэтому плата незаметна.
Чем лучше с той же метрикой?
Полнотой. В непрерывных функциях по метрике есть фундаментальные последовательности без предела среди непрерывных: они сходятся к ступенькам и разрывным функциям. В дыр нет — предельный элемент всегда найдётся и будет суммируемой функцией. Полнота открывает критерий Коши, теоремы о неподвижных точках и законные предельные переходы под интегралом.