Гильбертовы пространства: как устроена геометрия в бесконечномерности

Векторы в ${\mathbb{R}}^n$ складываются, растягиваются числом, измеряются длиной и углом через скалярное произведение. Функции на отрезке — тоже векторы, только бесконечномерные: значение в каждой точке играет роль координаты. Гильбертово пространство переносит на функции всю евклидову геометрию — длины, углы, проекции, теорему Пифагора. Главная награда за эту абстракцию: ряд Фурье оказывается обычным разложением вектора по ортогональному базису, а коэффициенты Фурье — проекциями. То, что в курсе анализа выглядит как отдельная наука с огромным числом формул, здесь — одна картинка с перпендикулярами.

Скалярное произведение и норма функций#

Для действительнозначных функций на отрезке $[a,b]$ скалярное произведение — интеграл произведения. Аксиомы те же, что у обычного скалярного произведения: симметрия, линейность по каждому аргументу, положительность $⟨f,f⟩\ge 0$ с равенством только для нулевого элемента. Норма — длина вектора:

Неравенство Коши–Буняковского $|⟨f,g⟩|\le \Vert f\Vert \Vert g\Vert$ даёт и угол, и его ограниченность. Функции ортогональны, когда $⟨f,g⟩=0$, — интеграл произведения обнуляется. А для ортогональных векторов работает то, что мы помним с первого курса:

Мостик в теорию вероятностей показывает, что это не формальная игра. Для случайных величин с конечным вторым моментом скалярное произведение — $⟨X,Y⟩=E[XY]$. Центрирование даёт знакомые объекты: расстояние от $X$ до константы математического ожидания — это в точности корень из дисперсии: $\Vert X-EX{\Vert }^2=DX$. Ковариация — скалярное произведение центрированных величин, а некоррелированность — ортогональность. Геометрия пространства оказывается рабочим инструментом, а не украшением.

Пространство L² и полнота#

В $L^2$ элемент — не функция, а класс функций, совпадающих почти всюду. Отсюда, например, отсутствие «значения в точке»: конкретную точку можно перекрасить, элемент не заметит. Все непрерывные функции на отрезке лежат в $L^2$, но пространство $C[0,1]$ с нормой $L^2$ не полно: последовательность функций, равных нулю на $[0,1/2-1/n]$ и единице на $[1/2+1/n;1]$, фундаментальна по норме $L^2$, а её предел — ступенька, разрывная. Проще пример: $f_n(x)=x^n$ на $[0,1]$ сходится по норме $L^2$ к нулю, поскольку ${\int }_0^1{x}^{2n}dx=1/(2n+1)\to 0$, хотя поточечно предельная функция скачет в точке $x=1$.

Пополнение пространства — добавление всех пределов фундаментальных последовательностей — и даёт $L^2$: по теореме Рисса–Фишера оно полное. Полнота — то самое требование из теории метрических пространств: у всякой фундаментальной последовательности должен быть предел внутри пространства, и здесь он наконец гарантирован. Сравните с равномерной сходимостью: равномерная влечёт среднеквадратичную на конечном отрезке, но не наоборот — пример с $x^n$ это показывает. Для непрерывности в метрических терминах всё как обычно; вопрос в том, что именно мы считаем близостью функций — и в $L^2$ близость измеряется интегралом квадрата разности. У этой нормы нет понятия «наибольшее значение»: элемент $L^2$ может иметь сколь угодно высокие узкие пики при малой норме.

Ортогональные базисы и ряд Фурье#

Система $\{e_k\}$ ортонормирована, если $⟨e_i,e_j⟩=0$ при $i\ne j$ и $\Vert e_k\Vert =1$. Для любого $f$ числа $c_k=⟨f,e_k⟩$ — координаты вектора, а частичная сумма $S_N={\sum }_{k=1}^N{c}_k{e}_k$ — проекция на натянутое подпространство. Ключевое свойство проекции: среди всех комбинаций $\sum a_k{e}_k$ именно $S_N$ ближе всего к $f$ по норме $L^2$:

Классический ортонормированный базис на $[0,\pi ]$ — синусный: $e_k=\sqrt{2/\pi }\sin (kx)$. Ортогональность проверяется произведением синусов: ${\int }_0^{\pi }\sin (kx)\sin (mx)dx=0$ при $k\ne m$ и $\pi /2$ при $k=m$. Разложение по нему — это и есть ряд Фурье по синусам. Проверим всю машину на функции $f(x)=x$ — простейшей, но с изломом, чтобы жизнь была честной.

Парсеваль — это предельная форма Пифагора: все координаты бесконечномерного вектора в сумме восстанавливают его длину. Обратная сторона — неравенство Бесселя ${\sum }_{k\le N}{c}_k^2\le \Vert f{\Vert }^2$, которое подсказывает практику разложений: если первые коэффициенты съели почти всю норму, хвост можно выбросить без боли. Так рождаются сжатие сигналов и фильтрация шума.

Проекции, градиенты и цена абстракции#

Линейные функционалы в гильбертовом пространстве устроены до неприличия просто: теорема Рисса говорит, что всякий непрерывный линейный функционал — это скалярное произведение с каким-то элементом $h$; например, $\ell (f)={\int }_0^{1}f(t)w(t)dt$ с фиксированным весом — это просто $⟨f,w⟩$. Отсюда и осмысленное понятие направления наискорейшего роста функционала — прямой аналог градиента из конечномерного анализа, только теперь «направление» само является функцией. На этом языке переформулируется и задача наилучшего приближения: найти ближайший элемент подпространства — значит, спроецировать, а разность (перпендикуляр) обязана быть ортогональной всему подпространству.

• Считать, что сходимость в L² тянет поточечную: последовательность xⁿ сходится по норме к нулю, хотя предельная функция имеет скачок в точке 1.
• Забывать нормировку базиса: ⟨sin kx, sin kx⟩ = π/2, а не 1; коэффициенты ненормированной системы другие.
• Писать ⟨f, g⟩ = ∫fg для функций не из L²: интеграл может расходиться, скалярное произведение определено не для всех пар.
• Ожидать равномерной сходимости ряда Фурье от разрывной функции: в окрестности разрыва — эффект Гиббса, равномерности нет.
• Путать ‖f‖ и max|f|: у нормы L² нет «наибольшего значения», узкий высокий пик может иметь сколь угодно малую норму.
• Приписывать пределу свойства приближений: предел непрерывных функций в L² бывает разрывным — непрерывность не сохраняется.

Итог: гильбертово пространство — это договор, что длина функции измеряется интегралом квадрата, а перпендикулярность — обнулением интеграла произведения. За это мы получили полноту, проекции и право пользоваться Пифагором без оглядки на размерность. Ряд Фурье из отдельной главы анализа превратился в разложение по ортонормированному базису, а базельская задача — в упражнение на Парсеваля. Дальше по курсу — сопряжённые операторы и спектральная теория в $L^2$: тот же язык, но уже с серьёзными приложениями от дифференциальных уравнений до квантовой механики.