Жорданова форма: когда диагонализация не работает

Знакомая контрольная ситуация: найдите $A^{100}$ для матрицы $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. План привычный — собственные значения, векторы, диагонализация, степень через диагональ. Характеристическое уравнение даёт $(\lambda -1{)}^2=0$: корень $\lambda =1$ кратности 2. А собственных векторов внезапно один: система $(A-E)\vec{v}=\vec{0}$ вырождается в уравнение $v_2=0$, то есть в прямую $(1,0)$. Второго вектора нет, и диагонализовать матрицу нельзя. Прямой подсчёт подтверждает, что это не прихоть задачи: $A^{100}=\left(\begin{array}{cc}1& 100\\ 0& 1\end{array}\right)$ — в правом верхнем углу стоит сотня, и никакая диагональная формула её не выдаст. Что происходит с матрицей и что приходит на замену диагонали — тема этого урока.

Почему диагонализация ломается: две кратности#

У собственного значения две разные «кратности», и путать их нельзя. Алгебраическая кратность — степень корня в характеристическом полиноме: сколько раз $\lambda$ выпадает при решении $\det (A-\lambda E)=0$. Геометрическая кратность — размерность собственного подпространства: сколько линейно независимых векторов отвечает на запрос $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$. Геометрическая кратность всегда не больше алгебраической. Для диагонализации нужно равенство по каждому собственному значению: только тогда векторов хватает на полный базис.

Сдвиг из вступления — честный образец провала: $\lambda =1$ двукратен, а вектор один, то есть геометрическая кратность $1<2$. Разница $2-1=1$ называется дефектом собственного значения. Сравните с матрицей $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$: у неё тот же двукратный корень $\lambda =2$, но собственное подпространство — вся плоскость, дефект нулевой, и диагонализация не нужна, потому что матрица уже диагональна. Одна и та же кратность, две разные судьбы: решает не величина корня, а число векторов.

Проверить равенство кратностей можно быстро, не строя базисов: посчитайте ранг $A-\lambda E$ для каждого корня. Сумма геометрических кратностей обязана дотянуть до $n$ — только тогда столбцы $P$ соберутся в невырожденную матрицу перехода. Если векторов не хватает, попытка диагонализации утыкается в вырожденность $P$: обратной матрицы нет, и формула $A=PD{P}^{-1}$ не собирается физически, а не просто «неудобна».

Плохая новость: не всякая матрица подобна диагональной. Хорошая: любая квадратная матрица (над комплексными числами) подобна почти диагональной. Ближайшая к диагонали форма, которая гарантированно достижима, носит имя Жордана — и вся разница прячется в одной наддиагональной единице.

Что приходит на замену диагонали: жорданова клетка#

Жорданова клетка $J_n(\lambda )$ — квадратная матрица порядка $n$, у которой на главной диагонали стоит одно и то же число $\lambda$, над диагональю — единицы, а всё остальное — нули:

Сдвиг из вступления — это в точности $J_2(1)$, матрица $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ — $J_2(2)$. Клетка не хочет быть диагональной: единица над диагональю портит картину, и у клетки порядка $n$ ровно один собственный вектор — $(1,0,\dots ,0)$. Зато определитель считается мгновенно: $\det J_n(\lambda )={\lambda }^n$, и единственное собственное значение — $\lambda$ кратности $n$. Жорданова форма — блочно-диагональная матрица из клеток:

Если все клетки имеют порядок 1, форма диагональна — диагонализация оказывается частным случаем. На диагонали жордановой формы стоят только собственные значения, каждое повторено алгебраическую кратность раз; клетки группируются по одному $\lambda$, и сумма их размеров равна этой кратности. Сколько клеток получит конкретное $\lambda$ — вопрос к собственным векторам, к нему вернёмся через раздел.

Как строится жорданов базис: цепочки векторов#

Столбцы матрицы $P$ — не случайные векторы, а жордановы цепочки. Начало цепочки — собственный вектор ${\vec{v}}_1$: $(A-\lambda E){\vec{v}}_1=\vec{0}$. Каждый следующий уровень добывается из предыдущего: $(A-\lambda E){\vec{v}}_2={\vec{v}}_1$, $(A-\lambda E){\vec{v}}_3={\vec{v}}_2$. Длина цепочки равна порядку клетки: цепочка из одного вектора даёт $J_1$, из двух — $J_2$, из трёх — $J_3$. При действии $A$ вершина цепочки просто растягивается: $A{\vec{v}}_1=\lambda {\vec{v}}_1$, а каждый следующий вектор прирастает предыдущим: $A{\vec{v}}_2={\vec{v}}_1+\lambda {\vec{v}}_2$ — эта надбавка и рисует единицу над диагональю.

У цепочек есть требование: уравнение $(A-\lambda E)\vec{w}=\vec{v}$ разрешимо не для всякого собственного $\vec{v}$ — только для лежащих в образе оператора $A-\lambda E$. Поэтому базис строят сверху вниз: сначала выясняют, каких размеров ждать клетки, а затем тянут цепочки нужной длины. Подсчёт ведут по рангам степеней. Обозначим $d_k=\dim \ker (A-\lambda E{)}^k$; число клеток с этим $\lambda$ равно $d_1$ — геометрической кратности, клеток размера не меньше двух — $d_2-d_1$, не меньше трёх — $d_3-d_2$, и дальше по цепочке.

Проверим подсчёт на будущей героине этого урока — матрице $\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$: квадрат $(A-2E{)}^2$ там равен нулевой матрице, поэтому $d_1=2$, $d_2=3$, и разность $d_2-d_1=1$ обещает одну клетку размера не меньше двух. Расклад $J_2(2)+J_1(2)$ виден до всяких цепочек — цепочки лишь реализуют готовый план.

1. Составить $\det (A-\lambda E)=0$, найти корни и их алгебраические кратности
2. Для каждого $\lambda$ посчитать $d_1=n-\mathrm{rang}(A-\lambda E)$ — это число клеток
3. Поднять степени: $d_2=\dim \ker (A-\lambda E{)}^2$; разности $d_k-d_{k-1}$ дают число клеток размера не меньше $k$
4. Построить цепочки нужных длин и записать их в столбцы $P$: сначала вершина цепочки, потом следующие уровни
5. Сверка: $J=P^{-1}AP$ должна получиться клеточной

Все векторы, зануляемые какой-нибудь степенью $(A-\lambda E{)}^k$, образуют корневое подпространство значения $\lambda$; его размерность совпадает с алгебраической кратностью. Всё пространство распадается в прямую сумму корневых подпространств по разным $\lambda$ — в этом и состоит содержание теоремы Жордана. Про базисы и размерности подробнее — в уроке про линейные пространства и в словарной статье базис.

Откуда берётся клетка: полный пример 3×3#

Разберём до конца матрицу $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ — она не треугольная, так что кратности придётся вычислять честно. Определитель $A-\lambda E$ раскладывается по третьему столбцу:

Вычитаем двойку: $A-2E=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$. Все строки пропорциональны, ранг равен 1, значит геометрическая кратность $3-1=2$. Собственные векторы описываются единственным уравнением $v_1+v_2=0$: берём ${\vec{v}}_1=(1,-1,0)$ и $\vec{u}=(0,0,1)$. Клеток, стало быть, две, их размеры в сумме дают 3 — вариантов не остаётся: одна $J_2(2)$ и одна $J_1(2)$. Дефект равен $3-2=1$, и ровно одна единица появится над диагональю.

Типичная ошибка в таких задачах — начать цепочку с первого попавшегося собственного вектора. С $(0,0,1)$ уравнение для $\vec{w}$ окажется несовместным, и студент обычно решает, что ошибся в арифметике. Ошибки нет: вершина цепочки обязана лежать в образе $A-\lambda E$, и перебор вершин — нормальная часть метода. Если собственных векторов у значения несколько, сначала выясните, какой из них продолжается в цепочку, — например, подстановкой в правую часть.

Что это даёт: степени, экспонента и мостик к дифурам#

Теперь премия за всю работу. Степень считается через форму: $A^k=P{J}^k{P}^{-1}$, а $J^k$ возводится поклеточно. Для нашей матрицы $J_2(2{)}^3=\left(\begin{array}{cc}8& 12\\ 0& 8\end{array}\right)$ — биномиальная формула даёт $2^3=8$ на диагонали и $3\cdot 2^2=12$ над ней. Итого:

Для сдвига из вступления формула выдаёт готовый ответ: $J_2(1{)}^{100}=\left(\begin{array}{cc}1& 100\\ 0& 1\end{array}\right)$ — вопрос контрольной закрыт двумя умножениями вместо сотни. Заметьте, что наддиагональный элемент растёт не экспоненциально, а линейно: $k{\lambda }^{k-1}$. Так дефект проявляется в каждой степени.

Экспонента — та же схема: $e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$, а для клетки из анатомии $e^{J_2(2)t}=e^{2t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$. Зачем это: линейная система ${\vec{x}}^{\prime }=A\vec{x}$ решается одной строкой $\vec{x}(t)=e^{At}{\vec{x}}_0$ — вся техника в уроке про системы дифференциальных уравнений. Для нашей матрицы при ${\vec{x}}_0=(1,1,0)$ ответ: $\vec{x}(t)=((2t+1)e^{2t},(1-2t)e^{2t},0)$. Смотрите: наряду с $e^{2t}$ появились множители $t$. Это почерк дефекта — у диагонализуемой матрицы решение было бы чистой суммой экспонент. Резонансные слагаемые вида $t{e}^{\lambda t}$ растут ровно из жордановых клеток.

Одна оговорка ради честности: жорданова форма боится погрешностей. Малое возмущение элементов распрямляет клетки — численно форма неустойчива, поэтому в реальных вычислениях используют форму Шура и ортогональные методы, а о том, как вообще живут вычислительные ошибки, рассказано в уроке про источники погрешностей. Жорданова форма остаётся инструментом точной теории: она объясняет структуру решений, классифицирует матрицы с точностью до подобия и отвечает на вопрос, почему диагонализация не сработала.

• Диагонализация требует равенства геометрической и алгебраической кратностей по каждому $\lambda$; положительный дефект — сигнал о клетках
• ЖФ: на диагонали собственные значения, единицы над ними внутри клеток; $A=PJ{P}^{-1}$, столбцы $P$ — цепочки
• Число клеток с $\lambda$ равно геометрической кратности; размеры добираются из рангов степеней $(A-\lambda E{)}^k$
• Степени: $A^k=P{J}^k{P}^{-1}$ с надбавками $k{\lambda }^{k-1}$; экспонента $e^{At}$ — мостик к системам ОДУ

Закрепить материал: потренируйте руки в тренажёре по матрицам, разберите типовые задачи на матрицы, а перед экзаменом загляните в разбор решений по матрицам и определителям. Понятия собраны в словаре: собственный вектор и диагонализация матрицы. Опорой служат соседние уроки — про собственные значения и векторы и про обратную матрицу: без обращения $P^{-1}$ жорданова сборка не собирается.