🧮 Линал

Диагонализация матрицы

Q: Как проверить, что диагонализация проведена верно?

Одно умножение: $P \Lambda$ должно равняться $A P$. Это определение собственных векторов, записанное сразу для всех столбцов. Равенство сошлось — разложение верно, независимо от того, как именно вы считали.

англ. Matrix diagonalization

Переход к базису из собственных векторов, в котором матрица становится диагональной: A = PΛP⁻¹, а на диагонали Λ сидят собственные значения.

Диагонализация матрицы — смена точки зрения, после которой преобразование становится прозрачным. Ищем базис из собственных векторов: в нём матрица превращается в диагональную — на каждой оси просто растяжение со своим коэффициентом, никакой мешанины. Записывается разложением $A = P Λ P^{- 1}$ : столбцы $P$ — собственные векторы, по диагонали $Λ$ — собственные значения.

A = P Λ P^{- 1} \Rightarrow A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

степень съедается диагональю: Λⁿ — степени чисел, а не матриц

Право на диагонализацию выдаётся не всем. Достаточно иметь $n$ различных собственных значений — тогда векторы автоматически независимы. Симметричная матрица диагонализуется всегда, и вдобавок в ортогональном базисе. А вот контрпример: $(1011)$ несёт единственное собственное значение $λ = 1$ и один-единственное направление $(1; 0)$ — второго вектора взять неоткуда, диагональный вид недостижим.

Числовой прогон: $A = (2112)$ . Характеристическое уравнение $(2 - λ)^{2} - 1 = 0$ даёт $λ = 1$ и $λ = 3$ ; векторы — $(1; - 1)$ и $(1; 1)$ . Собираем $P$ из столбцов и $Λ$ из чисел — прямое умножение подтверждает $P Λ P^{- 1} = A$ . Награда приходит, когда нужны степени: $A^{5} = P Λ^{5} P^{- 1} = (122121121122)$ — три умножения вместо пяти возведений.

Диагонализуем матрицу по шагам

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Применений больше, чем букв в формуле. Быстрые степени тянут за собой марковские цепи (куда выродится случайный блуждатель через тысячу шагов), популяционные модели и рекуррентности вида чисел Фибоначчи. Диагонализация решает системы дифференциальных уравнений и приводит квадратичные формы к каноническому виду — отдельный разговор в уроке про квадратичные формы. Полная техника с примерами $3 \times 3$ — в уроке про собственные значения, а руку набить можно в тренажёре матриц.

Частые вопросы

Как проверить, что диагонализация проведена верно?

Одно умножение: $P Λ$ должно равняться $A P$ . Это определение собственных векторов, записанное сразу для всех столбцов. Равенство сошлось — разложение верно, независимо от того, как именно вы считали.

Что делать с комплексными собственными значениями?

Над вещественными числами диагонализация невозможна — у матрицы поворота корни комплексные $\pm i$ , и никакой поворот не оставляет на месте ни одной прямой. Но над комплексными числами всё работает: поворот «диагонализуется» в пару $e^{\pm i φ}$ (см. комплексное число).

Зачем диагонализовать, если есть калькулятор?

Калькулятор перемножит матрицы за вас — но не ответит, что будет через тысячу шагов. Формула $A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}$ показывает предел, рост или затухание одной строчкой; это разница между подсчётом одного случая и пониманием всей картины.

Всегда ли P обратима?

Да, если собрана из независимых собственных векторов: определитель ненулевой по построению. Если же независимых направлений меньше $n$ , диагонализации не существует — никакая сборка $P$ не поможет, нужны жордановы клетки.

пошагово

Решатель квадратных уравнений

Найти собственные значения матрицы 2×2

Характеристическое уравнение для 2×2 — квадратное: решатель выдаст оба собственных значения, включая комплексные.

Открыть решатель