🧮 Линал

Базис

Q: Зачем другой базис, если есть стандартные оси?

Правильный базис упрощает задачу. В базисе из собственных векторов линейный оператор действует поточечно — матрица диагональна; если один вектор направить вдоль силы, движение распадается на простые проекции. Цена перехода — одно решение системы уравнений, выигрыш — вся дальнейшая работа.

англ. Basis

Набор линейно независимых векторов, через который любой вектор пространства выражается единственным образом; число векторов базиса равно размерности пространства.

Говорят, что векторы «задают координатную сетку» пространства. Базис — это и есть такая сетка: набор, который, во-первых, не вырождается (никакой вектор не собирается из остальных — линейная независимость), а во-вторых, достаточен: любой вектор пространства собирается из них с числовыми коэффициентами. Векторов в базисе ровно столько, какова размерность пространства: на плоскости два, в привычном трёхмерном — три. Стандартный пример — орты $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ вдоль осей, но базисов бесконечно много, и часто выгоднее взять «скошенный», подстроенный под задачу.

a = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{n} a_{n}

разложение вектора по базису: числа

x_{1}, \dots, x_{n}

— координаты вектора, и они единственные при данном наборе базисных векторов

Ключевой вопрос практики: когда набор — честный базис, а когда самозванец? Ответ даёт определитель. Запишем координаты векторов-кандидатов столбцами матрицы: если её определитель не ноль, набор — базис; если ноль, векторы линейно зависимы и всё пространство из них не соберёшь. Пример: $a_{1} = (1; 1)$ , $a_{2} = (1; - 1)$ на плоскости — $det (11 1 - 1) = - 2 \neq = 0$ , базис. А пара $(1; 2)$ и $(2; 4)$ обнуляет детерминант: второй вектор — удвоенный первый, сетка из одной нити.

Разобрали разложение по базису на части

Нажимай на части!

Каждая часть формулы кликабельна — под ней появится объяснение её роли. Так формулы перестают быть кашей из символов.

Нажмите на любую часть формулы выше

Как найти координаты на практике: расписать разложение покоординатно — получится система уравнений. Для $b = (4; 2)$ и базиса выше: $x + y = 4$ , $x - y = 2$ , откуда $x = 3$ , $y = 1$ . Итак, $b = 3 a_{1} + a_{2}$ , и другого способа собрать $b$ из этих векторов нет. Смена базиса — не формальность: в базисе из собственных векторов матрица превращается в диагональную, и сложные задачи о колебаниях, формах и операторах распадаются на независимые оси.

Глубже в механику — в уроке векторы и операции и в линейных пространствах, где базисом становится вообще что угодно: многочлены, матрицы, функции. Определение вектора — если нужно освежить язык. Вся справка по формулам на одной странице — шпаргалка векторной алгебры.

Частые вопросы

Сколько базисов у пространства?

Бесконечно много (кроме нулевого): любой набор из $n$ линейно независимых векторов — базис. Все базисы содержат поровну векторов — это и есть размерность. Частые гости: стандартный ортонормированный и базис из собственных векторов, в котором оператор диагонален.

Чем базис отличается от любого линейно независимого набора?

Мощностью и полнотой. Независимый набор из $k < n$ векторов — лишь заготовка: его можно дополнить до базиса, но сам он порождает только «кусок» пространства. Базис — независимый набор ровно из $n = dim$ векторов, и потому он порождает всё.

Зачем другой базис, если есть стандартные оси?

Правильный базис упрощает задачу. В базисе из собственных векторов линейный оператор действует поточечно — матрица диагональна; если один вектор направить вдоль силы, движение распадается на простые проекции. Цена перехода — одно решение системы уравнений, выигрыш — вся дальнейшая работа.