Матрица перехода между базисами: как найти, связь координат, проверка

Задача: в стандартном базисе ${\vec{e}}_1=(1,0)$, ${\vec{e}}_2=(0,1)$ вектор задан координатами $(7,12)$. Коллега работает в другом наборе направлений — и просит тот же вектор в своих координатах. Перерисовывать вектор не нужно: сам он на месте, меняется только «система отсчёта» для чтения его компонент. Пересчёт координат упаковывается в одну матрицу — матрицу перехода — и после этого урока вы будете находить её за минуту, а проверять ответ — за десять секунд.

Зачем это нужно за пределами учебника: базис из собственных направлений расплющивает матричные вычисления (см. собственные значения), базис из ортогональных векторов упрощает проекции и МНК, а компьютерная графика пересчитывает координаты моделей между системами отсчёта сотни раз в кадр.

Координаты: это разложение по базису#

Начнём с определения, на котором сыпется половина контрольных. Пусть в векторном пространстве выбран базис ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\dots ,{\vec{e}}_n$. Координаты вектора — это коэффициенты разложения, а не «стрелочки на осях»:

Смените базис — тот же вектор получит другие коэффициенты, потому что «кирпичики» другие. Связь между двумя наборами координат и есть предмет урока. Подробности про то, что такое базис вообще, — в уроке о линейных пространствах; там же — размерность и линейная независимость.

Матрица перехода: определение#

Пусть старый базис — $\vec{e}$, новый — $\vec{f}={\vec{f}}_1,\dots ,{\vec{f}}_n$. Каждый новый вектор где-то живёт — а именно, раскладывается в старом базисе. Матрица перехода $T$ строится по одному правилу: её $j$-й столбец — координаты вектора ${\vec{f}}_j$ в старом базисе.

Запоминать это стоит не как символы, а как картинку: поставили новые векторы в столбик — получили матрицу. Дальше всё следует из одного умножения. Разложим произвольный вектор $\vec{x}$ в новом базисе: $\vec{x}=y_1{\vec{f}}_1+y_2{\vec{f}}_2+\cdots +y_n{\vec{f}}_n$. Подставим сюда выражения ${\vec{f}}_j$ через старый базис и соберём коэффициенты — слева получится столбец старых координат, справа произведение $T$ на столбец новых координат:

Направление запомнить легко: $T$ собрана из новых векторов в старой «одежде», поэтому она переводит новые координаты в старые. Обратный пересчёт — через обратную матрицу:

Условие $\det T\ne 0$ не техническая мелочь: вырожденная матрица означала бы, что новые «базисные» векторы линейно зависимы, то есть вообще не базис. Если определитель посчитался нулём — в условии задачи опечатка или в вашем решении потерян знак.

Пример со всеми вычислениями#

Старый базис — стандартный ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ на плоскости. Новый: ${\vec{f}}_1=(1,2)$, ${\vec{f}}_2=(2,5)$ — векторы уже записаны в старых координатах, значит матрица перехода собирается мгновенно: $T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$. Определитель $5-4=1$, базис честный. Вектор $\vec{x}$ имеет старые координаты $(7,12)$; найдём его координаты в базисе $\vec{f}$:

Отрицательная координата — не сюрприз: новый вектор ${\vec{f}}_2$ наклонён так, что $\vec{x}$ приходится собирать, вычитая его. Проверка занимает одну строку: соберём разложение $11{\vec{f}}_1-2{\vec{f}}_2=11(1,2)-2(2,5)=(11-4,22-10)=(7,12)$. Совпало с исходными координатами — пересчёт верный. А теперь посмотрите на ту же матрицу как на геометрическую деформацию плоскости:

Алгоритм: как найти матрицу перехода#

В задачах встречаются три постановки, и все решаются одним и тем же ходом — «вырази новые векторы в старом базисе».

1. Новые векторы уже даны в старых координатах — вписать их столбцами, конец.
2. Даны обе системы векторов координатными строками — сначала убедиться, что новые линейно независимы ($\det T\ne 0$), затем записать столбцы.
3. Дан вектор в старых координатах — для новых координат решить систему $T{\vec{x}}_f={\vec{x}}_e$ методом Гаусса или через $T^{-1}$.

Полный проход по третьему сценарию — самой частой формулировке в билетах. Дано: ${\vec{f}}_1=(1,2)$, ${\vec{f}}_2=(2,5)$, ${\vec{x}}_e=(7,12)$. Пройдите разбор сами, прежде чем смотреть:

Проверка решения: три способа на вкус#

Ответ можно считать готовым только после проверки, и она здесь дешёвая. Способ первый — подстановка: умножьте найденные координаты на векторы базиса и сравните с исходным вектором. Способ второй — круг: $T{T}^{-1}=E$; если обратную матрицу вы нашли с ошибкой, круг это покажет немедленно. Способ третий — тест на размерность: старые и новые координаты лежат в одном пространстве, количество чисел совпадает; получили на плоскости три координаты — ищите потерю минуса или лишний столбец.

Отдельный красивый случай — переход к базису из собственных векторов. В нём матрица перехода составлена из собственных векторов столбцами, и главное преобразование урока (${\vec{x}}_e=T{\vec{x}}_f$) превращается в формулу диагонализации $A=TD{T}^{-1}$. Именно поэтому базис из собственных векторов так ценят в прикладных задачах: в его координатах матрица действует по осям, без перекоса.

Четыре ошибки, которые встречаются чаще остальных#

• Перепутали направление: умножили ${\vec{x}}_e$ на $T$ вместо $T^{-1}$. Лекарство — мнемоника: столбцы из новых векторов ⇒ $T$ тянет новые координаты в старые.
• Вписали новые векторы строками, а умножали слева на столбец — получилась транспонированная задача. Определитесь с ориентацией один раз и проверьте её на векторе ${\vec{f}}_1$.
• Взявшиеся из ниоткуда коэффициенты: столбцы вписали в порядке ${\vec{f}}_2,{\vec{f}}_1$, а координаты пересчитывали для порядка ${\vec{f}}_1,{\vec{f}}_2$. Порядок столбцов — часть ответа.
• Не проверили $\det T\ne 0$ и полчаса искали обратную к вырожденной матрице. Первая строка решения всегда — определитель.

Мини-набор для самопроверки арифметики: операции с матрицами дают умножение и транспонирование, обратная матрица — алгоритм обращения, а базовые определения живут в статьях про матрицу и базис. Шпаргалка по векторной алгебре держит формулы под рукой, а тренажёр по матрицам прогонит умножение до автоматизма.

Что дальше: следующий урок курса — ортогональные проекции и QR-разложение, где матрица перехода будет именно ортогональной. Если хочется закрепить собственные векторы перед этим — вернитесь к собственным значениям; карта всей алгебры матриц — в шпаргалке.