Как решать интегралы по частям: алгоритм и примеры

Интеграл $\int x{e}^{x}dx$ не берётся ни таблицей, ни заменой переменной: под степенью и экспонентой сидят разные «породы» функций, и ни одна не сворачивается. Для таких произведений существует метод по частям — единственный способ превратить неудобный интеграл в удобный, перекинув часть работы с интеграла на дифференцирование. Формула короткая, но у неё есть характер: кто будет $u$ — вопрос, решающий всё.

Разбор устроен так: сначала алгоритм и формула, затем три примера — простой $\int x{e}^{x}dx$, хитрый $\int \ln xdx$, где под $dv$ прячется сама единица, и циклический $\int e^x\sin xdx$, где формула применяется дважды и интеграл решается как уравнение. Теория метода — в уроке метод замены и по частям, соседние приёмы — в шпаргалке методов интегрирования.

Откуда формула берётся: производная произведения даёт $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Интегрируем обе части, переносим одно слагаемое направо — и получаем ровно записанное тождество. Поэтому проверка любого ответа элементарна: продифференцируйте правую часть и убедитесь, что вернулась подынтегральная функция. Этой проверкой мы будем закрывать каждый пример.

1. 1
   Проверьте, не табличный ли интеграл и не берётся ли заменой. По частям — третий эшелон, а не первый: не гоняйте его на $\int x^{2}dx$.
2. 2
   Найдите кандидата на $u$ по приоритету: логарифм, затем обратные тригонометрические, затем многочлен. Всё остальное идёт в $dv$.
3. 3
   Выпишите $du$ и соберите $v$ из остатка: $dv=g(x)dx$ даёт $v=\int g(x)dx$ без константы — она здесь не нужна.
4. 4
   Подставьте в формулу $uv-\int vdu$ и упростите новый интеграл. Он обязан быть проще исходного — иначе вы перепутали роли.
5. 5
   Если новый интеграл снова по частям — повторите: степени при $e^x$ или $\sin x$ уменьшаются на единицу за каждый заход.
6. 6
   Циклический случай: после двух применений исходный интеграл вернулся с коэффициентом. Обозначьте его $I$ и решите линейное уравнение относительно $I$.

Пример 1: $\int x e^x\,dx$ — степенной множитель в роли $u$#

Здесь двое: многочлен $x$ и экспонента $e^x$. По приоритету $u$ — многочлен: его производная упрощается с $x$ до $1$, а экспоненту интегрировать не страшно, она не меняется. Роли: $u=x$, $dv=e^{x}dx$.

1. 1
   Берём ответ $(x-1)e^x+C$ и дифференцируем как произведение.
2. 2
   Производная: $(x-1{)}^{\prime }{e}^x+(x-1)e^x=e^x+(x-1)e^x$.
3. 3
   Складываем: $e^x(1+x-1)=x{e}^x$ — вернулся исходный подынтегральный множитель.
4. 4
   Ответ верен; константа $C$ на месте — без неё неопределённый интеграл не ответ.

Мораль примера: многочлен идёт в $u$, потому что дифференцирование его укорачивает; экспонента и тригонометрия идут в $dv$, потому что их первообразные им же и остаются — никто не портится. Если роли поменять местами, новый интеграл станет $\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx$ — ещё сложнее старого. Формула не прощает неправильной расстановки ролей.

Пример 2: $\int \ln x\,dx$ — логарифм и незаметный $dv = dx$#

Здесь произведения нет вовсе — и именно поэтому задача выглядит тупиковой. Трюк: любое выражение можно умножить на $1$, то есть взять $dv=dx$. Логарифм по приоритету — первый кандидат на $u$: его производная $\frac{1}{x}$ несравнимо проще его самого.

Проверка: $(x\ln x-x{)}^{\prime }=\ln x+1-1=\ln x$. Верно. Заметьте закономерность: интегралы от «одиночек» $\ln x$, $\arctan x$, $\arcsin x$ всегда решаются этим трюком — у них нет напарника, и роль напарника играет пустой множитель из $dv=dx$.

Пример 3: циклический $\int e^x \sin x\,dx$ — интеграл как уравнение#

Тут оба множителя «вечные»: и экспонента, и синус не упрощаются при дифференцировании или интегрировании, они лишь кружатся по циклу. Выберем $u=\sin x$ (это неважно, годится и экспонента — лишь бы держать роль $u$ при каждом заходе) и применим формулу дважды.

Подставляем вторую строку в первую: $I=e^x\sin x-(e^x\cos x+I)=e^x(\sin x-\cos x)-I$. Исходный интеграл сидит в обеих частях уравнения — переносим и делим: $2I=e^x(\sin x-\cos x)$, то есть $I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$.

1. 1
   Дифференцируем $\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$ как произведение.
2. 2
   Получаем $\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+\frac{e^x(\cos x+\sin x)}{2}$.
3. 3
   Скобки складываются: $\sin x-\cos x+\cos x+\sin x=2\sin x$.
4. 4
   Итого $\frac{e^x\cdot 2\sin x}{2}=e^x\sin x$ — вернулись к подынтегральной функции. Ответ верен.

• Новый интеграл сложнее старого. Признак перепутанных ролей: $\int x{e}^{x}dx$ с $u=e^x$ даёт $\frac{x^2}{2}$ в игре — сразу меняем роли.
• Константа из $v$. В $v$ не пишите $+C$: она появится в финальном ответе один раз, двойная константа — лишняя путаница.
• Ответ без проверки. Дифференцирование ответа занимает три строки и ловит все знаковые ошибки метода.
• Знак при возврате $I$. В циклическом интеграле следите, с каким знаком исходный интеграл вернулся: плюс или минус — от этого зависит и знак в уравнении, и финальный ответ.
• По частям там, где нужна замена. $\int x{e}^{x^2}dx$ — замена $t=x^2$, и одна строка вместо подозрительных манёвров.

Куда дальше: место метода среди других — в уроке метод замены и по частям, таблица первообразных — в шпаргалке интегралов, рациональные дроби — в разложении на простейшие. Смежные разборы: алгоритм интегралов и применения интеграла. Практика: тренажёр интегралов и задачи на интегралы.