Как вычислять двойной интеграл: область, повторный интеграл, полярные

Массу треугольной пластинки с плотностью $\rho (x,y)=xy$ считает двойной интеграл ${\iint }_{D}xydA$ — и это не экзотика, а первый инструмент, который в курсе появляется после определённого интеграла: объём под поверхностью, масса, заряд, центр тяжести. Вычисление сводится к двум обычным интегралам подряд, и вся сложность прячется не в интегралах, а в области: как её записать неравенствами и в каком порядке резать.

Определение и теория — в уроке двойные интегралы и термине двойной интеграл; техника одиночных интегралов — в методах интегрирования. Здесь — вычислительная рутина до автоматизма.

1. 1
   Нарисуйте область $D$ и запишите её неравенствами: по каждой переменной — от нижней границы до верхней. Тип «полоса» ($a\le x\le b$, ${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$) — самый рабочий.
2. 2
   Сведите к повторному: ${\iint }_{D}fdA={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}fdy$. Внешние пределы — числа, внутренние — функции.
3. 3
   Считайте внутренний интеграл: переменная интегрирования «уходит», на её месте остаются функции второй переменной.
4. 4
   Считайте внешний интеграл от результата — обычный определённый интеграл.
5. 5
   Если внутренний интеграл не берётся в выбранном порядке — поменяйте порядок: перезапишите область неравенствами «с другой стороны» и пересчитайте пределы.
6. 6
   Круговые и секториальные области — переход к полярным координатам: $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$, $dA=rdrd\phi$; якобиан $r$ забывать нельзя.

Пример 1: треугольник под линейной границей#

Вычислим ${\iint }_{D}xydA$, где $D$ — треугольник с вершинами $(0;0)$, $(2;0)$, $(2;2)$: по рисунку это полоса $0\le x\le 2$, $0\le y\le x$. Внутренний интеграл по $y$ — при фиксированном $x$ умножение на константу:

Внешний интеграл: ${\int }_0^2\frac{x^3}{2}dx=\frac{x^4}{8}{|}_0^2=\frac{16}{8}=2$. Ответ: $2$. Вся задача — два интеграла по одной строке каждый; вся работа была в записи области, и это честное распределение сил темы: геометрия важнее интегрирования.

Пример 2: смена порядка интегрирования#

Вычислим ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^1{e}^{y^2}dy$. Внутренний интеграл по $y$ не берётся: первообразной у $e^{y^2}$ в элементарных функциях нет. Но менять подынтегральную функцию нельзя, а порядок интегрирования — можно. Область: $0\le x\le 1$, $x\le y\le 1$ — треугольник над прямой $y=x$. Перезапишем его наоборот: $0\le y\le 1$, $0\le x\le y$.

Тот же приём в обратную сторону проверяет запись: если после смены порядка пределы стали «перекрёстными» (переменная внутри констант другой переменной) — область описана неверно, вернитесь к рисунку. Численная проверка: $\frac{e-1}{2}\approx 0,8591$.

Пример 3: полярные координаты#

Вычислим ${\iint }_D(x^2+y^2)dA$ по кругу $r\le 1$. В декартовых пределах круг — это $-1\le x\le 1$ с корнями в пределах по $y$: законно, но уродливо. В полярных координатах круг — прямоугольник: $0\le r\le 1$, $0\le \phi \le 2\pi$, а $x^2+y^2=r^2$.

Забытый якобиан — самый дорогой минус темы: без него выходит $\frac{\pi }{4}$, красиво и неверно. Запоминалка честная: полярная клетка на радиусе $r$ имеет площадь $rdrd\phi$ — дальние клетки шире. Тот же переход спасает любые «кольца», «сектора» и подынтегральные с $x^2+y^2$.

Типичные ошибки#

• Область без рисунка. «Похоже на треугольник» — не описание; без чертежа и пробной точки пределы угадываются со второго-третьего раза, а ошибки не видны.
• Постоянные пределы внутри. ${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1}xydy$ — это прямоугольник, а не треугольник: запись области противоречит условию.
• Интегрирование по константе. Во внутреннем интеграле ${\int }_0^{x}xydy$ множитель $x$ — константа, выносится за знак; попытка интегрировать по нему ломает задачу.
• Круг в декартовых упрямо. ${\int }_{-1}^{1}dx{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2)dy$ берётся, но длинно; полярные сжали бы до двух строк — оцените оба пути перед счётом.

Куда дальше: определение, свойства и теорема Фубини — в уроке двойные интегралы; следующий этаж — разбор как решать тройные интегралы; техника одиночных — в разборе как решать интегралы, задачах на интегралы и тренажёре интегралов; замены переменных — в термине замена переменной в интеграле.