📈 Матанализ

Как решать тригонометрические уравнения: алгоритм и разбор

Q: Как отобрать корни на отрезке без рисунка?

Двойным неравенством: подставьте серию $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ в условие $0 \le x \le \pi$, получите $-\frac{1}{6} \le k \le \frac{1}{3}$, из целых подходит только $k = 0$, ответ $\frac{\pi}{3}$. Способ формален и не зависит от аккуратности круга — на экзамене он надёжнее.

Четыре подтипа тригонометрических уравнений и точка на круге вместо таблицы формул: алгоритм распознавания, три полных примера с отбором корней и ошибки, за которые снимают баллы.

Сложность: Первый курс Схема действий

Уравнение $2 cos^{2} x - 5 cos x + 2 = 0$ выглядит пугающе, пока не заметишь: оно квадратное, только вместо $x$ стоит косинус. Так устроены почти все тригонометрические уравнения курса — под замаскированной алгеброй прячется круг. Задача решающего — снять маску: привести всё к одной функции, сделать замену, решить алгебраическое уравнение и вернуть ответ на окружность.

Страница собрана как боевой алгоритм: сначала распознавание подтипа по внешнему виду записи, затем три примера — квадратное с лишним корнем, однородное с делением на косинус и разложение с отбором корней на отрезке. Табличные значения и весь круг — в термине единичная окружность, формулы — в шпаргалке по тригонометрическим формулам.

Уберите степени: $sin^{2} x$ и $cos^{2} x$ свяжите тождеством $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , произведения вроде $sin x cos x$ — формулой двойного угла $sin 2 x = 2 sin x cos x$ .
Распознайте подтип: простейшее $sin x = a$ ; квадратное относительно одной функции; однородное — все слагаемые одной степени из синусов и косинусов; разложение — общий множитель или формула суммы.
Для квадратного и однородного — замена $t = sin x$ или $t = tg x$ с ограничением $∣ t ∣ \leq 1$ для синуса и косинуса.
Решите алгебраическое уравнение; каждый корень $t$ вне $[- 1; 1]$ выбросьте сразу — он не даст углов.
Вернитесь к кругу: одна функция плюс одно число — одна или две серии корней. Тангенс даёт одну серию с шагом $π$ .
Если в условии отрезок — отберите корни двойным неравенством: подставьте серию в $a \leq x \leq b$ и найдите целые $k$ .

Пример 1: квадратное уравнение с лишним корнем#

Решим $2 cos^{2} x - 5 cos x + 2 = 0$ . Два слагаемых с косинусом — в квадрате и в первой степени — это флаг замены $t = cos x$ .

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \Rightarrow D = 25 - 16 = 9 \Rightarrow t = \frac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow t_{1} = 2, t_{2} = \frac{1}{2}

дискриминант и оба корня; проверка ограничения

∣ t ∣ \leq 1

выбраковывает

t = 2

мгновенно

Корень $t = 2$ законно выбрасывается: косинус не превышает единицу ни при каком угле, и формального $arccos 2$ в чистовике быть не должно. Остаётся $cos x = \frac{1}{2}$ — на круге две точки: $\frac{π}{3}$ в первой четверти и $- \frac{π}{3}$ в четвёртой. Серия: $x = \pm \frac{π}{3} + 2 π k$ .

Карточки: серии простейших уравнений

Знаю: 0/5

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 5

sin x = a

∣ a ∣ \leq 1

— сколько серий?

Пример 2: однородное уравнение#

$sin^{2} x - 3 sin x cos x + 2 cos^{2} x = 0$ . Все слагаемые второй степени, функции только синус и косинус — перед нами однородное уравнение. Проверяем вырожденный случай: при $cos x = 0$ получается $sin^{2} x = 0$ , то есть $sin x = 0$ одновременно — так не бывает, тождество $sin^{2} + cos^{2} = 1$ запрещает. Значит, косинус нигде в решении не ноль, и деление на $cos^{2} x$ ничего не теряет.

tg^{2} x - 3 tg x + 2 = 0 \Rightarrow (tg x - 1) (tg x - 2) = 0

после деления на

cos^{2} x

и замены

t = tg x

— обычное квадратное уравнение

$tg x = 1$ даёт $x = \frac{π}{4} + π k$ , $tg x = 2$ даёт $x = arctg 2 + π k$ . Обе серии законны: у тангенса ограничения $∣ t ∣ \leq 1$ нет, шаг $π$ — период тангенса. Некрасивый $arctg 2$ — это нормально: ответы тригонометрии не обязаны быть табличными.

Сами: разложение с отбором корней

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Типичные ошибки#

Ответ без периода. $x = \frac{π}{3}$ вместо $x = \frac{π}{3} + 2 π k$ — одна точка вместо всей серии; без условия отрезка такой ответ неполон.
Потерянный случай $cos x = 0$ . В $sin^{2} x - 3 sin x cos x = 0$ деление на $sin x$ выбрасывает серию $x = π k$ — выносите общий множитель, а не делите.
Смешение серий. Точки $\frac{π}{6}$ и $\frac{5 π}{6}$ принадлежат $sin x = \frac{1}{2}$ ; после умножения угла на коэффициент старая таблица не работает — приводите к простейшему виду.
Отбор на глаз. Точка $\frac{5 π}{2}$ не входит в $[0; 2 π]$ , хотя выглядит близко к границе: подставляйте серию в двойное неравенство и решайте его относительно целых $k$ .

Проверь себя+15 XP

Что обязательно проверить перед делением однородного уравнения $a sin^{2} x + b sin x cos x + c cos^{2} x = 0$ на $cos^{2} x$ ?

Частые вопросы

Почему в ответе серии, а не числа?

Синус, косинус и тангенс периодичны: значения повторяются через $2 π$ (у тангенса — через $π$ ). Одному значению $sin x$ отвечает бесконечное множество углов, и запись $x = \frac{π}{6} + 2 π k$ описывает их все одной строкой. Конкретные числа появляются только при отборе на отрезке.

Как отобрать корни на отрезке без рисунка?

Двойным неравенством: подставьте серию $x = \frac{π}{3} + 2 π k$ в условие $0 \leq x \leq π$ , получите $- \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{1}{3}$ , из целых подходит только $k = 0$ , ответ $\frac{π}{3}$ . Способ формален и не зависит от аккуратности круга — на экзамене он надёжнее.

Что делать, если функции разные и степеней нет?

Ищите формулу, сводящую всё к одной функции: произведения — в суммы, суммы — в произведения, $sin 2 x$ — в $2 sin x cos x$ . Ключ вопроса «какой формулой связаны функции в записи» — после сведения уравнение попадает в один из четырёх подтипов алгоритма.

Куда дальше: практика с генератором — на странице задачи на тригонометрические уравнения и в тренажёре тригонометрии; производные синуса и косинуса — в правилах дифференцирования; первый замечательный предел — в замечательных пределах; разложения в синусы и косинусы — в рядах Фурье.