Как решать логарифмические неравенства: ОДЗ и знак основания

Неравенство ${\log }_2(x-1)<3$ сводится к линейному за один шаг — а вот ${\log }_{1/3}(x+2)>-2$ при той же технике даёт ошибку, если забыть, что основание меньше единицы разворачивает знак. Логарифмические неравенства — это два знания одновременно: монотонность логарифма и дисциплина ОДЗ. Ни то, ни другое нельзя пропустить: каждое по отдельности стоит половины решений.

Разберём алгоритм, метод рационализации — главный ускоритель темы — и три примера по нарастающей. Общая техника неравенств — в разборе как решать неравенства, свойства логарифмов — в шпаргалке логарифмов и степеней.

1. 1
   Выпишите ОДЗ: каждый аргумент строго больше нуля, каждое основание положительно и не равно единице. ОДЗ фиксируется до всяких преобразований.
2. 2
   Приведите неравенство к виду ${\log }_{a}f>{\log }_{a}g$ (или $<$, $\ge$, $\le$): одно основание, одна функция логарифма в каждой части.
3. 3
   Определите знак основания: $a>1$ — логарифм возрастает, знак неравенства сохраняется; $0<a<1$ — убывает, знак разворачивается.
4. 4
   Решите полученное алгебраическое неравенство $f>g$ (или $f<g$) — обычно линейное или квадратное.
5. 5
   Пересеките решение с ОДЗ — финальные интервалы всегда проходят через эту операцию, даже если алгебраическая часть «прекрасно решилась».

Пример 1: основание больше единицы#

${\log }_2(x-1)<3$. ОДЗ: $x-1>0$, то есть $x>1$. Основание $2>1$ — логарифм возрастает, знак сохраняется. Тройку можно оставить справа как ${\log }_{2}8$ или переписать сразу:

Проверка граничного смысла: при $x=1,5$ левая часть ${\log }_{2}0,5=-1$ — неравенство верно; при $x=10$ аргумент $9$, ${\log }_{2}9>3$ — неверно. Ответ $(1;9)$ согласуется.

Пример 2: основание меньше единицы — знак разворачивается#

${\log }_{1/3}(x+2)>-2$. ОДЗ: $x>-2$. Основание $\frac{1}{3}$ меньше единицы — функция убывающая, и при переходе к аргументам знак «больше» превращается в «меньше»: $x+2<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9$.

Почему знак разворачивается: логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ — это логарифм по основанию $3$ с минусом, ${\log }_{1/3}u=-{\log }_{3}u$. Умножение неравенства на минус меняет его направление — тот же закон, что и в обычной алгебре. Если память подводит, приводите к единому основанию: правая часть $-2={\log }_{1/3}9$, и дальше по убывающей функции.

Пример 3: рационализация против страницы выкладок#

$\lg x+\lg (x-3)<1$. Сначала ОДЗ: два аргумента, оба строго положительны — $x>0$ и $x>3$, вместе $x>3$. Слева сумма логарифмов: $\lg (x(x-3))<1=\lg 10$, основание $10>1$:

Алгебра дала $(-2;5)$, ОДЗ требует $x>3$ — пересечение $(3;5)$. Проверьте сами ловушку: точка $x=0$ из алгебраического ответа в исходное неравенство не подставляется вообще — $\lg (-3)$ не существует. Рационализация в общем виде: ${\log }_{a}f>{\log }_{a}g$ равносильно $(a-1)(f-g)>0$ на ОДЗ — множитель $(a-1)$ сам держит знак основания, и случаев становится вдвое меньше.

Типичные ошибки#

• Сумма логарифмов без ОДЗ каждого слагаемого. В примере 3 условие $x>3$ сильнее, чем $x>0$: пропущенное $\lg (x-3)$ расширяет ответ до неверного $(-2;5)$.
• Разворот знака применён там, где не нужно. При основании $2$ знак сохраняется; механический разворот «потому что логарифм» даёт пустой или зеркальный ответ.
• Возведение в степень по-школьному. Переход ${\log }^{2}f>{\log }^{2}g$ к $f>g$ незаконен: сначала замена $t={\log }_{a}f$, потом модули; без этого теряются корни.
• Нестрогие знаки на границах ОДЗ. ${\log }_{a}0$ не существует — концы ОДЗ всегда открытые, даже когда алгебраическая часть допускает равенство.

Куда дальше: общий алгоритм и другие типы неравенств — в разборе как решать неравенства и на странице задачи на неравенства; тренажёр с генератором — тренажёр неравенств; формат ЕГЭ — на странице задание 15; свойства логарифма — в термине логарифм и шпаргалке.