Как решать производные для чайников: пошаговый разбор

Производная — это скорость: насколько быстро функция меняется в точке. Вся техника вычислений укладывается в таблицу производных плюс четыре правила: как разбирать сумму, произведение, частное и «функцию в функции». Кто научился честно определять вид функции, тот решает производные как кроссворд — механически и без вдохновения, что для контрольной идеальная стратегия.

План страницы: алгоритм из шести шагов, затем три примера по нарастающей — сумма степеней, произведение с частным, сложная функция, — и коллекция ошибок, из-за которых в чистовиках появляются лишние минусы и потерянные внутренние производные. Определение и геометрический смысл — в уроке производная, полный свод правил — в правилах дифференцирования, таблица под рукой — в шпаргалке производных.

1. 1
   Посмотрите на функцию и назовите её вид вслух: сумма, произведение, частное, сложная (функция внутри функции). Вид диктует правило.
2. 2
   Сумма и разность — дифференцируйте по слагаемым: каждый член отдельно, константы выбрасываются.
3. 3
   Произведение — правило $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: производная первого на второй плюс первое на производную второго.
4. 4
   Частное — правило ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$: минус в числителе — самый частый потерянный знак.
5. 5
   Сложная функция — правило цепочки: внешняя производная по «ящику» умножается на производную «ящика»: $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$.
6. 6
   Упростите результат и, если просят значение в точке, подставьте её. Проверка направления: производная чётной степени при смене знака $x$ не меняется, у синуса — цикл из четырёх.

Пример 1: сумма и степени#

Разогрев: $y=x^3-4x+5$. Здесь нет ни произведений, ни вложений — работает только таблица: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$, $(x{)}^{\prime }=1$, производная константы равна нулю. Собираем: $y^{\prime }=3x^2-4$.

Число на этом не заканчивается: в задачах почти всегда просят значение в точке. При $x=2$ получаем $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-4=8$. Физически: в точке $x=2$ касательная к кривой поднимается на $8$ единиц вверх на каждый шаг вправо — крутая подъёмная дорога. Именно это число ищут в задачах на скорость и на угол наклона.

Пример 2: произведение и частное#

Произведение $y=x^2\sin x$ не разбивается на производные по отдельности — «производная произведения равна произведению производных» — ложь, за которую ставят минус. Работает правило: $y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\sin x+x^2(\sin x{)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$.

Частное берётся похожей, но более капризной формулой. Для $y=\frac{x}{x+1}$: $u=x$, $v=x+1$, значит $y^{\prime }=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

Обратите внимание на порядок: в числителе стоит именно $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$, и перестановка слагаемых переворачивает знак ответа. Проверка на честность: подставьте точку и сравните с наклоном касательной на графике функции.

Пример 3: сложная функция — правило цепочки#

Вложение читается как матрёшка: $y=(2x+1{)}^5$ — это «пятая степень от ящика $2x+1$». Дифференцируем снаружи внутрь: производная степени даёт $5(2x+1{)}^4$, затем умножаем на производную ящика $2$. Ответ: $y^{\prime }=5\cdot (2x+1{)}^4\cdot 2=10(2x+1{)}^4$.

Ещё один типовой: $y=\ln (x^2+1)$. Внешняя — логарифм: $\frac{1}{x^2+1}$; внутренняя — квадратный трёхчлен: $2x$. Перемножаем: $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$. Правило цепочки применимо любое число раз: в ${\sin }^2(3x)$ вложений два, и производная соберёт три множителя — по одному на каждый слой.

• Забытая внутренняя производная. После каждого сложного слоя спрашивайте себя: а что производная у «ящика»? Нет множителя — нет балла.
• Минус в частном. $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$: минус сидит между слагаемыми, а не внутри каждого.
• Производная константы. $(5{)}^{\prime }=0$, а не $5$: константа-слагаемое исчезает, но константа-множитель остаётся: $(5x^2{)}^{\prime }=10x$.
• Степень степени. $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$: показатель уходит вниз и уменьшается на единицу, а не остаётся на месте.
• Нет упрощения. Ответ $\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}$ без упрощения до $\frac{1}{(x+1{)}^2}$ выглядит так, будто автор не понял, что сделал.

Куда дальше: определение через предел — в уроке производная, свод всех правил — в правилах дифференцирования, вложенные функции — в производной сложной функции. Смежные разборы: уравнение касательной, экстремумы, общий гайд по производным. Практика: задачи на производные и тренажёр производных.