Как решить систему уравнений методом Крамера: пошагово

Метод Крамера решает квадратную систему линейных уравнений одними определителями: посчитал главный определитель, посчитал ещё несколько с заменёнными столбцами — и каждая неизвестная получилась делением. Для систем $2\times 2$ и $3\times 3$ это самый быстрый маршрут, когда нужны все неизвестные сразу; для больших систем дешевле работает Гаусс. Один запрет: главный определитель обязан быть ненулевым.

Разбор: алгоритм, затем разминка на системе $2\times 2$ и полный бой на $3\times 3$ — все четыре определителя раскрыты до чисел, ответ проверен подстановкой во все уравнения. Теория и вывод формул — в уроке метод Крамера и матричный метод, аппарат определителей — в уроке определители; здесь — практика.

1. 1
   Проверьте формат: уравнений столько же, сколько неизвестных, — система квадратная. Иначе Крамера нет.
2. 2
   Считайте главный определитель $\Delta$ из коэффициентов. $\Delta =0$ — метод молчит, переходите к Гауссу.
3. 3
   Для каждой неизвестной замените её столбец коэффициентов столбцом свободных членов и посчитайте ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$, ${\Delta }_z$.
4. 4
   Разделите: $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$, $z=\frac{{\Delta }_z}{\Delta }$ — знаки определителей сами позаботятся о знаках корней.
5. 5
   Проверьте ответ подстановкой во все исходные уравнения — определители прощают опечатки только до записи ответа.

Разминка: система $2 \times 2$#

Решим $x-y=1$, $2x+3y=12$. Главный определитель — из коэффициентов при неизвестных: $\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\cdot 3-(-1)\cdot 2=3+2=5$. Ненулевой — метод работает.

Основной бой: система $3 \times 3$#

Решим систему:

Главный определитель раскрываем по первой строке (миноры $2\times 2$ со знаками $+-+$):

Заменяем первый столбец свободными членами $(6,2,7)$ и считаем ${\Delta }_x$ по той же схеме:

Для ${\Delta }_y$ и ${\Delta }_z$ та же замена во втором и третьем столбцах:

1. 1
   Первое уравнение: $2+1+3=6$ — сходится.
2. 2
   Второе: $2\cdot 2+1-3=4+1-3=2$ — сходится.
3. 3
   Третье: $2-1+2\cdot 3=1+6=7$ — сходится.
4. 4
   Все три строки зелёные: решение $(2;1;3)$ верное.

Что делать при $\Delta = 0$#

Нулевой главный определитель — не конец задачи, а смена метода. Считайте вспомогательные: если хотя бы один из ${\Delta }_x$, ${\Delta }_y$, ${\Delta }_z$ отличен от нуля, решений нет вовсе. Если же все они нулевые, решений бесконечно много, и их структуру вытащит Гаусс: Крамер делить на ноль не умеет, а ступенчатый вид разберёт любой случай. Диагностическую силу метода Крамера часто переоценивают — он решает, а не диагностирует; диагноз остаётся за Гауссом.

• Столбец не тот. Для $y$ свободные члены идут во второй столбец: ${\Delta }_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 2& -1\\ 1& 7& 2\end{array}\right|$ — шестёрка, двойка и семёрка стоят посередине.
• Знаки миноров. Раскрытие по строке: $+-+$ (и так далее по шахматному правилу) — потерянный минус у второго слагаемого меняет ответ.
• Деление на ноль. $\Delta =0$ — стоп: либо решений нет, либо их бесконечно; делить нельзя, диагноз ставит Гаусс.
• Нет проверки. Подстановка трёх корней в три уравнения занимает минуту и ловит любую арифметическую ошибку в определителях.
• Большие системы. Для $4\times 4$ Крамер требует пять определителей четвёртого порядка — уже честнее считать Гауссом.

Куда дальше: формулы и матричный метод — в уроке метод Крамера и матричный метод, аппарат — в уроке определители и термине определитель. Смежные разборы: метод Гаусса для чайников, алгоритм СЛАУ, матрицы и определители, сравнение Крамер vs Гаусс. Матричная база — обратная матрица; практика — тренажёр матриц.