🧮 Линал

Метод Гаусса для чайников: пошаговое решение системы

Прямой и обратный ход на системе 3×3 без дробей: расширенная матрица, элементарные операции, обратная подстановка и проверка. Плюс тренажёр Гаусса.

Сложность: База 2 схемы действий

Метод Гаусса — это способ решить любую систему линейных уравнений одним и тем же рецептом: исключайте переменные по очереди, пока в последней строке не останется одна. Никаких догадок, никаких «подберите»: только вычитание строк, умноженных на подходящее число. Определитель, Крамер и обратные матрицы тут не нужны — матрица, карандаш и аккуратная арифметика.

Разбор: алгоритм, затем система $3 \times 3$ с целым решением — прямой ход и обратный ход до последнего числа, — потом сценарии «нет решений» и «решений бесконечно много». Урок с теорией — СЛАУ методом Гаусса, связанный метод — в разборе как решать СЛАУ; здесь — только руками по матрице.

Запишите расширенную матрицу: коэффициенты при неизвестных плюс столбец свободных членов после вертикальной черты.
Выберите ведущий элемент первого столбца. Удобно, когда это единица — но годится любое ненулевое число.
Обнулите столбец под ведущим: к каждой нижней строке прибавьте верхнюю, умноженную на подходящее число: $R_{i} := R_{i} - k R_{1}$ .
Перейдите ко второму столбцу и повторите: нули под диагональю — до ступенчатого вида.
Обратный ход: из последнего уравнения выразите последнюю неизвестную и поднимайтесь вверх, подставляя найденные значения.
Проверка: подставьте ответ во все исходные уравнения. Одна сходящаяся проверка стоит десяти уверенных кивков.

Пример: система $3 \times 3$ с целым решением#

Решим систему:

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 8 2 x - y + 3 z = 9 3 x + y - z = 2

три уравнения, три неизвестных — классический размер для контрольной

Расширенная матрица — просто коэффициенты и правые части, без букв:

123 2 - 1 1 13 - 1 892

ведущий элемент — единица в углу, удачно: ничего переставлять не нужно

Прямой ход, шаг 1: убираем $x$ из второй и третьей строк. Вторую строку очищает разность $R_{2} - 2 R_{1}$ , третью — $R_{3} - 3 R_{1}$ :

R_{2} - 2 R_{1} : (0, - 5, 1 ∣ - 7); R_{3} - 3 R_{1} : (0, - 5, - 4 ∣ - 22)

считаем поэлементно:

- 1 - 2 \cdot 2 = - 5

3 - 2 \cdot 1 = 1

9 - 2 \cdot 8 = - 7

и так далее

Прямой ход, шаг 2: убираем $y$ из третьей строки — там теперь тоже стоит $- 5$ , и достаточно вычесть вторую строку целиком: $R_{3} - R_{2}$ :

100 2 - 5 0 11 - 5 8 - 7 - 15

ступенчатый вид достигнут: под диагональю нули, справа — треугольник чисел

Обратный ход — подъём по лестнице снизу вверх. Последняя строка говорит $- 5 z = - 15$ , значит $z = 3$ . Средняя: $- 5 y + z = - 7$ , подставляем тройку: $- 5 y = - 10$ , значит $y = 2$ . Верхняя: $x + 2 y + z = 8$ , подставляем обе: $x + 4 + 3 = 8$ , значит $x = 1$ .

z = 3; y = 2; x = 1

ответ:

(1; 2; 3)

— все числа целые, дробей не появилось ни на одном шаге

Первое уравнение: $1 + 2 \cdot 2 + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$ — сходится.
Второе: $2 \cdot 1 - 2 + 3 \cdot 3 = 2 - 2 + 9 = 9$ — сходится.
Третье: $3 \cdot 1 + 2 - 3 = 3 + 2 - 3 = 2$ — сходится.
Все три строки зелёные: решение $(1; 2; 3)$ настоящее.

Метод Гаусса: шаг за шагом

СЛАУ 3×3

Кнопка «Шаг» выполняет одну элементарную операцию над строками и объясняет её словами. Прямой ход приведёт матрицу к ступенчатому виду, обратный ход последовательно выразит неизвестные.

Система

2x₂ + 2x₃ = 10

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 20

2x₁ − x₂ + 2x₃ = 6

Расширенная матрица (A|b)

x₁x₂x₃b

102210

223420

32−126

Нажмите «Шаг» — выполнится одна элементарная операция над строками и появится её объяснение. Ведущий (разрешающий) элемент подсвечен янтарным.

Особые случаи:

История шагов

Здесь появится список всех выполненных операций.

Шаг

0 из 10

Ранг

Статус

единственное

Решение x₁; x₂; x₃

—

Типы элементарных операций: I — поменять строки местами, II — умножить строку на число ≠ 0, III — прибавить к строке другую, умноженную на число. Решение системы они не меняют.

Система двух уравнений = две прямые

Меняй числа!

Введите коэффициенты системы и смотрите на прямые. Решение — точка, где они пересекаются. Попробуйте сделать прямые параллельными: решений не будет. А теперь сделайте их одинаковыми — их бесконечно много!

ax + by = c dx + ey = f

abcdef

det

5.00

3.00

2.00

Случай

единственное

det = ae − bd: если он ноль, прямые параллельны или совпадают — правило Крамера отказывает.

Когда решение не единственное#

Гаусс не только решает, но и ставит диагноз. Если на прямом ходе появилась строка вида $(000 ∣ c)$ с $c \neq = 0$ , то система требует $0 = c$ — противоречие, решений нет. Если же таких строк нет, а уравнений после хода меньше, чем неизвестных, — решений бесконечно много: свободные неизвестные выбираете сами, остальные выражаете через них. Ранг и подробная классификация — в уроке СЛАУ методом Гаусса.

Что получилось после прямого хода	Диагноз	Что делать
Ступенька в каждой строке, нулей-строк нет	Единственное решение	Обратный ход снизу вверх
Строка $(000 ∣ 5)$	Система несовместна	Решений нет — писать «∅» и не мучиться
Строк меньше, чем неизвестных	Бесконечно много решений	Свободные неизвестные — параметром
Строка $(000 ∣ 0)$	Лишнее уравнение	Просто вычеркнуть, решение от этого не меняется

метод Гаусса отличает три сценария без всяких дополнительных проверок

Свободный член забыт. Операция применяется ко всем элементам строки — и к тем, что правее черты, тоже.
Знак коэффициента. $R_{2} - 2 R_{1}$ означает «прибавить строку, умноженную на минус два»: минус уже внутри записи.
Деление на ноль. Ведущий элемент обязан быть ненулевым; ноль в углу — меняем строки местами, а не делим.
Обратный ход сверху вниз. Ошибка в направлении: выражать нужно с последней строки — сначала $z$ , потом $y$ , потом $x$ .
Нет проверки. Подстановка в исходные уравнения ловит любую арифметическую халтуру за минуту.

Проверь себя+10 XP

К строкам $(111 ∣ 6)$ и $(210 ∣ 10)$ применили операцию $R_{2} := R_{2} - 2 R_{1}$ . Что получилось?

Проверь себя+10 XP

После прямого хода появилась строка $(000 ∣ 5)$ . Что это означает?

Проверь себя+10 XP

Ступенчатая матрица даёт строки $- 5 z = - 15$ и $- 5 y + z = - 7$ . Чему равен $z$ ?

Частые вопросы

Чем метод Гаусса лучше правила Крамера?

Универсальностью и экономией. Гаусс решает любую систему — квадратную и прямоугольную, единственную, пустую и бесконечную — и сам ставит диагноз. Крамер работает только при ненулевом определителе и на системах $4 \times 4$ уже требует четырёх определителей четвёртого порядка. Сравнение методов в лицо — в разборе Крамер vs Гаусс.

Что делать, если в углу матрицы ноль?

Поменять строки местами — это разрешённая элементарная операция, решение от неё не меняется. Ругаются только на нулевой ведущий элемент, но не на ноль где-то ещё: главное — обнулить столбец под ведущим. Если весь столбец нулевой, переменная свободная — система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Всегда ли система имеет решение?

Нет. Несовместная система после прямого хода предъявляет строку вида $0 = c$ с ненулевым $c$ — это и есть доказательство отсутствия решений. Геометрически три плоскости могут не пересекаться в одной точке: параллельны две из них или выстроены треугольником. Гаусс различает все случаи автоматически — это его главное достоинство.

Зачем нужен обратный ход, если матрица уже ступенчатая?

Потому что ступенчатая матрица — это система с лестницей неизвестных: в последнем уравнении осталась одна, в предыдущем две и так далее. Обратный ход просто спускается по этой лестнице: сначала $z$ , затем $y$ с подставленной тройкой, затем $x$ . Без него ступенчатый вид — недоделанная работа: числа есть, решения нет.

Куда дальше: теория и ранги — в уроке СЛАУ методом Гаусса, альтернативный метод — в разборе как решать СЛАУ и уроке метод Крамера и матричный метод; сопоставление — в сравнении Крамер vs Гаусс. Матричная база — матрицы и операции и термин «метод Гаусса». Практика: тренажёр матриц.