Что происходит на концах интервала $\pm\pi$?

Ряд «видит» периодическое продолжение функции. Если $f(-\pi) \ne f(\pi)$, в точках $\pm\pi$ (и во всех их периодических копиях) сумма ряда равна полусумме $\frac{f(-\pi + 0) + f(\pi - 0)}{2}$ — для пилообразной $x$ это ноль. Хотите красивые значения на концах — берите функцию, чётность и период которой согласованы, например $|x|$.

📈 Матанализ

Как построить ряд Фурье: пошаговый алгоритм

Q: Чем ряд Фурье отличается от ряда Тейлора?

Тейлор собирает функцию из степеней $x^n$ и честен только в окрестности точки разложения. Фурье собирает её из гармоник и сходится на всём отрезке, включая изломы и скачки — там, где производных уже нет и Тейлор бессилен. Физическая разница: Тейлор — локальное приближение, Фурье — спектр сигнала. Сравнение в лицо — в [разборе Тейлор vs Маклорен](/sravneniya/tejlor-vs-makloren/) и уроке [формула Тейлора](/course/matanaliz/formula-tejlora/).

Чётность, коэффициенты a₀, aₙ и bₙ, интегрирование по частям и проверка в контрольной точке: строим ряды Фурье для x и |x| и сверяем сумму с рядом Лейбница.

Сложность: Продвинутый Схема действий

Ряд Фурье отвечает на вопрос, который ряд Тейлора даже не задаёт: как собрать периодическую функцию — хоть с изломами, хоть со скачками — из чистых гармоник, синусов и косинусов. Идея звучит как чудо: любая приличная функция на отрезке $[- π; π]$ раскладывается в сумму $\frac{a _{0}}{2} + a_{1} cos x + b_{1} sin x + a_{2} cos 2 x + \dots$ — оркестр гармоник, где каждая играет со своей громкостью. Техника построения сводится к трём интегралам, и два из них почти всегда считаются по частям.

Разбор: формулы коэффициентов, затем два эталонных примера — нечётная $f (x) = x$ , дающая чисто синусный ряд, и чётная $f (x) = ∣ x ∣$ , дающая чисто косинусный, — плюс проверка через ряд Лейбница и теорема сходимости. Урок с теорией — ряды Фурье, все формулы — в шпаргалке по рядам Фурье; здесь — алгоритм под контрольную.

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x), a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x

коэффициенты Фурье: проекции функции на ортогональные гармоники

Зафиксируйте период и интервал: для $2 π$ — это $[- π; π]$ ; для произвольного $2 l$ формулы те же с заменой $n x \to \frac{nπ x}{l}$ .
Проверьте чётность: нечётная функция убивает все $a_{n}$ и $a_{0}$ , чётная — все $b_{n}$ . Это экономит половину интегралов.
Считайте $a_{0}$ — удвоенное среднее значение; не потеряйте деление на $2$ в ряде.
Считайте $a_{n}$ и $b_{n}$ . Многочлен под тригонометрией — интегрирование по частям: $u$ — многочлен, $d v$ — косинус или синус.
Запишите ряд явно: хотя бы три-четыре гармоники с числами, чтобы видеть структуру и знак $(- 1)^{n}$ .
Проверьте сумму в удобной точке по теореме сходимости: внутри интервала ряд даёт $f (x)$ , в точке разрыва — полусумму односторонних пределов.

Пример 1: $f(x) = x$ на $[-\pi; \pi]$ — чистые синусы#

Функция нечётная: $f (- x) = - x$ . Значит, все $a_{n} = 0$ и $a_{0} = 0$ — нечётная функция, умноженная на чётный косинус, остаётся нечётной, а её интеграл по симметричному отрезку равен нулю. Остаётся считать только $b_{n}$ , и симметрия позволяет взять удвоенный интеграл по половине:

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x = \frac{2}{π} ([- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{π} cos n x d x) = \frac{2}{π} \cdot (- \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}) = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}

по частям:

u = x

d v = sin n x d x

; второй интеграл обнулился —

cos

на концах даёт нули

Ряд: $x = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x = 2 (sin x - \frac{s i n 2 x}{2} + \frac{s i n 3 x}{3} - \dots)$ . Проверка в точке $x = \frac{π}{2}$ : синусы принимают значения $1, 0, - 1, 0, 1, \dots$ , и сумма превращается в $2 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots) = 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ — ровно $f (\frac{π}{2})$ . В скобках стоит знаменитый ряд Лейбница; его сумма $\frac{π}{4}$ — бонус этой задачи.

За пределами $[- π; π]$ ряд продолжает функцию периодически: на границах $\pm π$ значения $x = \pm π$ не совпадают, и сумма ряда там даёт полусумму $\frac{π + ( - π )}{2} = 0$ — теорема сходимости в действии.

Пример 2: $f(x) = |x|$ — чистые косинусы#

Функция чётная: все $b_{n} = 0$ . Считаем $a_{0}$ : $a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ^{2}}{2} = π$ . Теперь $a_{n}$ по частям — $u = x$ , $d v = cos n x d x$ :

a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x cos n x d x = \frac{2}{π} ([\frac{x sin n x}{n}]_{0}^{π} - \frac{1}{n} \int_{0}^{π} sin n x d x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{cos nπ - 1}{n ^{2}} = \frac{2 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{π n ^{2}}

первое слагаемое обнулилось:

sin nπ = 0

; знак решает

cos nπ = (- 1)^{n}

Для чётных $n$ числитель $(- 1)^{n} - 1$ равен нулю; для нечётных он равен $- 2$ и даёт $a_{n} = - \frac{4}{π n ^{2}}$ . Ряд: $∣ x ∣ = \frac{π}{2} - \frac{4}{π} (cos x + \frac{c o s 3 x}{9} + \frac{c o s 5 x}{25} + \dots)$ . Проверка в нуле: $∣0∣ = 0$ , значит $1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots = \frac{π ^{2}}{8}$ — ещё один знаменитый числовой ряд бесплатно. Угловатая галка собралась из гладких косинусов, причём коэффициенты падают как $\frac{1}{n ^{2}}$ — быстрее, чем у разрывных функций.

Ряд Фурье: сумма синусов

Добавляй гармоники!

Серые волны — гармоники $\frac{4}{π n} sin (n x)$ для нечётных $n$ . Фиолетовая — их сумма. Добавляйте слагаемые: сумма всё больше похожа на прямоугольную волну. В этом смысл ряда Фурье: любую периодическую функцию можно собрать из синусов.

Число гармоник3Анимация фазы

Каждая серая волна — «нота», а их сумма — «аккорд». Именно так аудиокодеки (MP3) и JPEG-сжатие раскладывают сигнал на частоты.

Двиньте ползунок до n=12 — углы квадрата всё ещё чуть «звенят». Это явление Гиббса!

Карточки: коэффициенты под контролем

Знаю: 0/5

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 5

Нечётная функция на

[- π; π]

— что зануляется?

Функция на $[-\pi; \pi]$	Чётность	Что обнуляется	Ряд
$x$	Нечётная	$a_{0}$ , все $a_{n}$	$2 \sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x$
$∣ x ∣$	Чётная	все $b_{n}$	$\frac{π}{2} - \frac{4}{π} \sum \frac{c o s ( 2 k - 1 ) x}{( 2 k - 1 ) ^{2}}$
$x^{2}$	Чётная	все $b_{n}$	$\frac{π ^{2}}{3} + 4 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos n x$
Произвольная	Никакая	ничего	Полный ряд с $a_{n}$ и $b_{n}$

чётность решает половину работы до первого интеграла

$\frac{1}{π}$ против $\frac{2}{π}$ . По симметричному отрезку коэффициент $\frac{1}{π}$ ; после перехода к половине он становится $\frac{2}{π}$ — не путайте эти две записи.
$a_{0}$ без половины. В ряде стоит $\frac{a _{0}}{2}$ ; для $∣ x ∣$ это $\frac{π}{2}$ , а не $π$ .
Знак чередования. Для $f (x) = x$ коэффициент $\frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ : при $n = 1$ он должен быть $+ 2$ , потому что первый синус входит с плюсом.
Проверка только в одной точке. Одна контрольная точка — необходимая, но не достаточная проверка; берите точку, где синусы дают простые значения: $\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{3}$ .
Период $2 l$ без замены. Для интервала $[- l; l]$ аргумент гармоники — $\frac{nπ x}{l}$ , а не $n x$ : перенос формул один в один без этой замены даёт неверный ряд.

Проверь себя+10 XP

Функция нечётная на $[- π; π]$ . Какие коэффициенты обязаны быть нулями?

Проверь себя+15 XP

Чему равен $b_{n}$ для $f (x) = x$ на $[- π; π]$ ?

Проверь себя+10 XP

Функция имеет разрыв в точке $x_{0}$ внутри интервала. Чему равна сумма её ряда Фурье в этой точке?

Частые вопросы

Чем ряд Фурье отличается от ряда Тейлора?

Тейлор собирает функцию из степеней $x^{n}$ и честен только в окрестности точки разложения. Фурье собирает её из гармоник и сходится на всём отрезке, включая изломы и скачки — там, где производных уже нет и Тейлор бессилен. Физическая разница: Тейлор — локальное приближение, Фурье — спектр сигнала. Сравнение в лицо — в разборе Тейлор vs Маклорен и уроке формула Тейлора.

Почему именно синусы и косинусы?

Потому что они ортогональны: интеграл произведения двух разных гармоник по периоду равен нулю. Ортогональность делает коэффициенты проекциями — каждый считается независимо от остальных, как координаты вектора по осям. Любая ортогональная система даёт своё разложение (многочлены Лежандра, функции Бесселя), но тригонометрическая — самая простая и идеально подходит для периодических явлений.

Зачем ряды Фурье нужны за пределами задачника?

Это язык обработки сигналов: звук, картинки, радиосигналы раскладываются на частоты именно так. В уравнениях математической физики ряд Фурье — основной метод: струна, тепло, колебания мембраны решаются разделением переменных с разложением начальных данных. Разбор этого метода — в гайде по УЧП методом Фурье и уроке уравнение теплопроводности.

Что происходит на концах интервала $\pm π$ ?

Ряд «видит» периодическое продолжение функции. Если $f (- π) \neq = f (π)$ , в точках $\pm π$ (и во всех их периодических копиях) сумма ряда равна полусумме $\frac{f ( - π + 0 ) + f ( π - 0 )}{2}$ — для пилообразной $x$ это ноль. Хотите красивые значения на концах — берите функцию, чётность и период которой согласованы, например $∣ x ∣$ .

Куда дальше: база по числовым рядам — в уроке числовые ряды и разборе исследование ряда на сходимость; общий алгоритм рядов — в как решать ряды. Формулы под рукой: шпаргалка рядов Фурье и шпаргалка рядов. Термины: ряд Фурье, коэффициент Фурье, тригонометрический ряд, преобразование Фурье. Практика: тренажёр рядов.

Пример 1: $f(x) = x$ на $[-\pi; \pi]$ — чистые синусы#

Пример 2: $f(x) = |x|$ — чистые косинусы#

Ряд Фурье: сумма синусов

Карточки: коэффициенты под контролем

Частые вопросы

Чем ряд Фурье отличается от ряда Тейлора?

Почему именно синусы и косинусы?

Зачем ряды Фурье нужны за пределами задачника?

Что происходит на концах интервала ±π?

Ряд Фурье: сумма синусов

Карточки: коэффициенты под контролем

Что происходит на концах интервала $\pm π$ ?